Задача 6. Проверочный расчёт ступенчатого бруса

Для ступенчатого бруса (рис. 1.9) известна внешняя нагрузка, заданы площади поперечного сечения и длины участков.

Требуется:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, от­носительных деформаций  и продольных перемещений δ. Принять модуль упругости E=2∙⁵Мпа.

2. Указать опасное сечение и значение σ_max, проверить прочность при допускаемом напряжении [σ]=200Мпа. Если условие прочности не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

3. Указать значения _max и δ_max, проверить жёсткость при допускаемой относительной деформации  = 0,005 и допускаемом продольном переме-щении [δ] = 0,5 мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

4. Для опасного сечения бруса вычислить касательные τ_α и нормальные _α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 45⁰ к оси бруса.

Решение

1. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений, от­носительных деформаций и продольных перемещений

В этой задаче использована унифицированная схема ступенчатого бруса при растяжении-сжатии, которая изображена на рис. 1.9. В ней в начале каждого участка приложены сосредоточенные силы Р, на каждом участке действует распределённая нагрузка интенсивности q_.. Принимаем следующее правило знаков нагрузки: за положительное считаем растягивающее направление.

Рис. 1.9

Выполним расчёт при следующих значениях. Сосредоточенные силы в начале участков равны Р₁=-60кН и Р₂=0; интенсивность распределённой нагрузки по участкам q₁=0 и q₂=150кН/м; длины участков 1₁=0,5м и 1₂=0,6м, площади сечений участков F₁=6см² и F₂=5см².

Сначала по исходным данным изобразим в масштабе заданный брус и действующую на него нагрузку (рис. 1.10, б). Брус разделим на два грузовых участка, здесь нумерацию участков удобно брать со свободного края, поэтому начало 1-го участка положим на торце бруса.

Для оценки прочности и жёсткости бруса, которые выполняются в 1-м, 2-м, и 3-м пунктах задачи, необходимо иметь значения продольных сил N, напряжений σ деформаций ε и перемещений δ на каждом участке. Запишем алгебраические выражения и подсчитаем значения этих величин, используя метод сечений и формулы напряжений и деформаций.

1-й участок: z_{1 1}= 0,5м. Запишем для текущего сечения (рис. 1.10, а, б), удалённого от начала 1-го участка на расстоянии z₁, продольную силу N₁, напряжение σ₁ и относительную деформацию ε₁. Используя формулу продольной силы (1.2) для унифицированного нагружения, формулу напряжений (1.3) и закон Гука, по которому , получаем

кН, МПа,

.

2-й участок: z_{2 2}= 0,6м. В текущем сечении 2-го участка (рис. 1.10, а, б), удалённом от его начала на расстоянии z₂, согласно (1.2), (1.3) и закона Гука, имеем

,

при кН, при кН;

,

при МПа, при МПа;

,

при , при .

Используя полученные значения продольных сил, напряжений, относительных деформаций, построим эпюры этих величин непосредственно под брусом и подпишем их характерные значения (рис. 1.10, в, г, д).

Перейдём к перемещениям δ, необходимым для решения 3-го пункта задачи. Составим выражения продольных смещений δ характерных поперечных сечений А, В, С. Для этого необходимо знать абсолютные

а
б
в
г
д
е

Рис. 1.10

деформации участков , которые вычисляются по формуле (1.6) как

. Подставим полученные значения продольных сил N₁ и N₂, заданные площади сечения и длины участков, получаем следующие абсолютные деформации участков:

= 0,25·10^-3м= 0,25мм;

м= 0,09мм.

Зная абсолютные деформации участков, подсчитаем продольные смещения указанных характерных сечений. Реальное перемещение сечения заделки отсутствует, поэтому запишем перемещение δ_А =0.

Первое сечение 2-го участка (сечение В) получило перемещение δ_В, которое равно деформации этого участка: δ_В = мм. Первое сечение 1-го участка (это сечение С) получило перемещение

мм.

В нашем примере наклонная прямая на эпюре N (рис. 1.10, в) пересекает ось на расстоянии z_o от начала 2-го участков (обозначим это сечение К). Как известно, на эпюре перемещений в этом сечении ожидается экстремум − перегиб кривой перемещений. В сечении К сила N= . Отсюда абсцисса этого сечения равна м. Необходимое значение экстремального перемещения δ_К (перемещения при z=z_о) определяем на основании (1.7) как разницу между перемещением первого сечения и деформацией куска z_о. При этом для деформации куска z_о используем полученное ранее выражение деформации 2-го участка, но только в нём укажем пределы интегрирования от 0 до z_о=0,4м. Вычисление в миллиметрах выглядит в следующем виде:

мм.

Отложив полученное значение от базисной линии на эпюре переме-

щений (рис. 1.10, е), проводим кривую с перегибом в сечении К.

2 и 3. Проверка условий прочности и жёсткости бруса

Теперь для ответа на пункты 2 и 3 назовём максимальные напряжения σ_max, деформации ε_max, перемещения δ_мах и сделаем выводы о прочности и жёсткости бруса при заданных величинах допускаемых напряжений [σ]=200МПa, деформаций [ε]=0,005 и перемещений [δ]=0,5мм.

Условие прочности имеет вид

σ_max = 100МПа < [σ] =200MПa,

и, следовательно, прочность бруса обеспечена; запишем условие жёсткости:

ε_max= < [0,0006]= 0,005, δ_max= 0,34мм < [δ] = 0,5мм,

значит, жёсткость бруса обеспечена.

4. Вычисление напряжений в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные τ_α и нормальные _α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α=45⁰ к оси бруса. Опасным сечением является сечение, в котором нормальные напряжения максимальны по абсолютной величине: в нашем примере равноопасны все сечения 2-го участка и σ_max=100МПа. Вычислим напряжения в наклонной площадке по (1.10):

МПа, МПа.

Как видно, эти напряжения не превышают допускаемых значений, и прочность в наклонной площадке под углом α=45⁰ к оси бруса обеспечена.