2.5. Уравнение баланса механической энергии потока.

Уравнение баланса механической энергии потока можно получить, умножая скалярно каждое слагаемое уравнения движения сплошной среды в напряжениях на вектор скорости :

(1)

Преобразования левой части этого соотношения приводят к следующим результатам:

(2)

т.е. это есть материальная (Эйлерова) производная кинематической энергии движущейся частицы жидкости.

Мощность напряжений стоящую в правой части (1) можно представить в виде:

(3)

Справедливость этого соотношения видна из представления его в компонентном виде, в декартовой прямоугольной системе координат. Действительно

При выполнении выкладок здесь учтено, что скалярное произведение базисных векторов дает дельту Кронекера, а для того чтобы она была ненулевой, необходимо равенство ее индексов. Следующее слагаемое (3) в компонентной форме:

И, наконец, последнее слагаемое правой части (3) в компонентной форме принимает вид:

Тогда, в целом, равенство (3) в компонентной форме имеет вид:

В силу симметрии тензора напряжений, это соотношение является тождеством, откуда следует справедливость формулы (3). Действительно, второе слагаемое правой части этого соотношения, после переобозначения индекса на и наоборот принимает вид:

но откуда следует равенство этого слагаемого слагаемому в левой части соотношения. Тем самым равенство (3) справедливо.

Последнее слагаемое в правой части уравнения (1) можно преобразовать, вводя в рассмотрение потенциал массовых сил в поле сил тяжести, полагая что ось направлена вертикально вверх:

Тогда

После подстановки выражений (2), (3), (4) в соотношение (1), имеем уравнение для механической энергии потока жидкости:

(5)

Стоящая в скобках левой части сумма кинетической и потенциальной энергией потока, есть полная механическая энергия этого потока. В таком виде уравнение механической энергии приведено в []. Чаще всего в литературе [] правую часть (5) представляя тензор напряжений движущейся жидкости в виде суммы

(6)

где давление, единичный тензор, тензор вязких напряжений. Тогда правая часть (5) примет вид:

(7)

Первое слагаемое этого соотношения:

А третье слагаемое:

После подстановки этих слагаемых в выражение (7) и далее в (5), уравнение механической энергии движущейся жидкости приобретает форму:

(8)

Видно, что скорость изменения полной механической энергии потока (суммы кинетической и потенциальной энергий) равна сумме мощностей сил давления и вязкого трения.

2.6. Уравнение энергии движущейся жидкости и его различные формы записи.

Первое начало термодинамики связывает между собой внутреннюю энергию, теплоту и работу. Применительно к движущейся жидкости его можно записать следующим образом:

(1)

где плотность; время; внутренняя энергия (удельная); вектор Гамильтона; вектор плотности притока тепла за счет теплопроводности; тензор напряжений; скорость жидкой частицы; количество теплоты поступающей в объем частицы от действия внешних источников за единицу времени. В этом выражении точка – символ скалярного произведения, двоеточие обозначает двойное скалярное произведение тензоров, в данном случае тензора напряжений и тензора градиентов скоростей.

Физический смысл этого уравнения заключается в том, что скорость изменения внутренней энергии в единицу объема, равна скорости подвода энергии за счет теплопроводности, за счет диссипации механической энергии потока и за счет поступления тепла от внешних или внутренних источников. Поскольку тензор напряжений можно представить в виде:

Где давление; единичный тензор; тензор вязких ньютоновских напряжений, то уравнение (1) можно записать в виде:

(2)

Это уравнение является уравнением энергии в форме переноса для внутренней энергии Его можно записать в более развернутом виде, учитывая, что оператор полной, эйлеровой производной в эйлеровой системе отсчета

Вектор в уравнении энергии определяется законом теплопроводности Фурье

где температура; коэффициент теплопроводности, а тензор реологическим соотношением Ньютона.

В декартовой прямоугольной системе координат, используя индексную форму записи, это уравнение представляется следующим образом:

(3)

Присутствие членов и в уравнении энергии говорит о том, что в движущейся жидкости может происходить внутреннее нагревание (охлаждение). Член может вызвать значительное изменение температуры, когда газ быстро расширяется (сжимается). Член всегда положительный, он характеризует диссипацию, деградацию механической энергии и переход ее в тепловую. Эту скалярную величину называют диссипативной функцией Рэлея и обозначают Запишем эту функцию подробно в декартовой прямоугольной системе координат для ньютоновской вязкой жидкости, когда реологическое соотношение имеет вид:

(4)

где коэффициент динамической вязкости; тензор скоростей деформации:

(5)

Конкретизация дает возможность записать диссипативное слагаемое в уравнении (2), выполняя простейшие выкладки:

Таким образом в компонентной форме, в индексной записи диссипативная функция Рэлея имеет вид:

или, переходя к обычным обозначениям, после суммирования по повторяющимся индексам и группировки слагаемых, получаем окончательно для этой диссипативной функции Рэлея:

(7)

что и следовало ожидать.

В бескомпонентной форме она записывается в виде:

(6)

Для совершенных газов внутренняя энергия связана с температурой соотношением где изохорная теплоемкость. Тогда вместо уравнения (2) с учетом выражения для вектора можно записать уравнение для переноса температур в виде:

Уравнение энергии (2) в форме переноса внутренней энергии может быть записано и через энтальпию Для этого в правую и левую части нужно добавить слагаемое Тогда слева будет стоять величина а справа добавиться это слагаемое в следующем преобразованном виде:

(8)

Здесь учтено уравнение неразрывности Тогда слагаемое уйдет из правой части и в итоге будем иметь уравнение энергии в форме переноса энтальпии

(9)

Эта вторая форма уравнения энергии для совершенного газа, где где изобарная теплоемкость, приводит к следующему уравнению переноса для температуры:

Еще один вид уравнения энергии можно записать, если ввести в рассмотрение энтальпию торможения Для этого следует сначала записать уравнение механической энергии потока, а затем сложить его с уравнением (9). Такое уравнение для механической энергии можно получить, если умножить скалярно уравнение движения жидкости в напряжениях на вектор скорости

После элементарных преобразований левой части получаем уравнение переноса кинетической энергии движущейся жидкости:

(10)

Сложение правых и левых частей уравнений (9) и (10) приводит к уравнению переноса энтальпии торможения:

(11)

Здесь учтено, что:

(12)

в чем легко убедится, выполняя соответствующие выкладки в компонентном виде, учитывая при этом симметрию тензора напряжений

Действительно, запишем в компонентном виде каждое слагаемое этого уравнения. Для слагаемого в левой части имеем:

Для слагаемых в правой части:

Подстановка этих трех выражений подтверждает формулу. Таким образом, диссипативный член в уравнении переноса энтальпии торможения может быть представлен в виде:

(13)

где диссипативная функция Рэлея, а скалярная величина, которую можно назвать добавочной диссипативной функцией.

Эта скалярная величина , характеризующая диссипативные процессы, в декартовой прямоугольной системе координат для ньютоновской стоксовой жидкости записывается следующим образом:

Первое слагаемое здесь в координатном виде, переходя к обычной форме записи в осях записывается как:

а второе слагаемое:

Учитывая что компоненты тензора скоростей деформаций

получаем окончательно выражение для декартовой прямоугольной системы координат:

Еще один, четвертый вид уравнения энергии записывается в терминах переноса энтропии Действительно, согласно основному уравнению термодинамики, которое вытекает из сочетания первого и второго законов ее, следует:

Отсюда имеем:

тогда подстановка величины из этого выражение в уравнение (9) дает уравнение:

(15)

Все четыре формы записи уравнения энергии – и через внутреннюю энергию, и через энтальпию, и через полную энтальпию, и через энтропию, эквивалентны.

Уравнение для температурного поля, для переноса температуры можно получить из уравнения (2) или из (9). В этих случаях величины и необходимо конкретизировать, используя известные из термодинамики формулы, следующие из соотношения Максвелла:

здесь и изохорная и изобарная теплоемкости соответственно. Нижние индексы при производных фиксируют параметры, при постоянстве которых вычисляются производные. Из этих формул следуют выражения для полных производных.

(16), (17)

Подстановка их в уравнения (2) и (9) дает две формы записи уравнения энергии в виде переноса температуры. Особенно просто эти формы записываются для совершенного газа, т.е. идеального газа, подчиняющегося уравнению Менделеева-Клайперона имеющего постоянные теплоемкости и значения которых вычисляются по молекулярно-кинетической теории газов, и дающего для внутренней энергии выражение В этом случае в правых частях (16) и (17) остаются только первые слагаемые. Тогда формула (2) дает уравнение переноса температуры в виде:

(18)

а уравнение (9) в виде:

(19)

Тождественность этих уравнений видна, если вычесть из (19) уравнение (18). Тогда:

или, принимая во внимание выражение (8) и используя формулу Майера где газовая постоянная, имеем:

Видно, что выполняется формула Менделеева-Клайперона, что и следовало ожидать.

На основе формулы (18) можно получить уравнение переноса для местной скорости звука которая для совершенного газа выражается формулой где показатель адиабаты, Действительно, если пренебречь величиной учесть уравнение неразрывности, а также то, что то уравнение (18) принимает вид:

(20)