Кинетическая и потенциальная энергии материальной точки. Теорема об изменении кинетической энергии.

Рассмотрим движение точки под действием силы . Динамическое уравнение движения материальной точки запишем в виде: . Умножим это уравнение скалярно на величину : . Это можно записать так: . Поскольку , то: . Выражение, стоящее под знаком дифференциала, называют кинетической энергией точки: .

Соотношение показывает, что бесконечно малое изменение кинетической энергии материальной точки равно элементарной работе сил, действующих на материальную точку. Кинетическая энергия может возрастать или убывать в зависимости от знака элементарной работы.

Проинтегрируем данное уравнение:

Эта формула выражает математическую запись теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на материальную точку.

Если материальная точка движется в потенциальном поле, то работа сил может быть найдена по формуле: . Введя величину получим:

Величина имеет размерность энергии. Ее называют потенциальной энергией материальной точки. Потенциальная энергия материальной точки определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Это не может отразиться на физических выводах, так как ход физических явлений может зависеть не от значений самой потенциальной энергией, а лишь от ее разности в различных состояний. Эти же разности от выбора произвольной постоянной не зависят. Для примера рассмотрим силу тяжести:

Следовательно . Неоднозначность в определении потенциальной энергии материальной точки в поле силы тяжести связано с тем что, значение зависит от z, а следовательно и от выбора нулевого уровня, то есть плоскости, где z = 0. Кроме этого ясно, что может быть как положительной так и отрицательной и равной нулю.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Запишем теорему об изменении кинетической энергии материальной точки:

Если сила, действующая на материальную точку, является консервативной:

Следовательно:

или

Сумму кинетической и потенциальной энергий материальной точки называют полной механической энергией материальной точки. Следовательно: полная механическая энергия материальной точки сохраняется, если на материальную точку действует консервативная сила.

В случае действия на материальную точку нескольких сил

Если все силы консервативны:

Следовательно, в этом случае также выполняется закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

Пусть на материальную точку действуют n сил, но только m из них являются консервативными. При этом получим: .

Изменение полной механической энергии точки равно сумме работ неконсервативных сил, действующих на материальную точку.

В результате вычисления в выражение для работы силы трения явно входит длина пути материальной точки. Эта значит, что сила трения не консервативна. При работе силы трения полная механическая энергия не сохраняется, переходя частично в тепло. Говорят, что в этом случае механическая энергия рассеивается или диссипирует. Поэтому силы трения и другие силы, при работе которых наблюдается переход механической энергии в другие виды энергий, называют диссипативными силами.