4.4 Обчислення ергодичних розподілів системи мо типу m/m/n/n
Марківський процес
називається ергодичним, якщо
.
Величина
носить назву ергодичного
розподілу
процесу
.
Із визначення
ергодичного розподілу випливає спосіб
визначення величини
.
Для цього в системі рівнянь(4.9) і(4.10)
необхідно всі похідні
прирівняти до нуля. В результаті
отримаємо:
................................................
...................................................
(4.13)
Для ергодичних розподілів повинні також виконуватися умови нормування
(4.14)
Із першого рівняння системи(4.13) визначимо
.
Підставивши
значення
в друге рівняння системи(4.13) приходимо
до висновку, що
.
Тепер, підставляючи знайдені величини і в третє рівняння системи (4.13) знаходимо
.
Продовжуючи процес обчислень за наведеною схемою, неважко переконатись, що
.
(4.15)
для значень j [0,N]
Нехай j
= N. Тоді
де
.
Оскільки
і
,
то підставляючи значення
і
в останнє рівняння, отримаємо
.
Знаючи значення
і
знайдемо
-
із рівняння (
)
Отже,
.
За відомими
значеннями величин
і
із рівняння (
)
визначимо
Продовжуючи процес обчислень за наведеною схемою, приходимо до висновку що
де
(4.16)
В формулі(4.16)
зробимо заміну -
.
Тоді
де
.
(4.17)
Значення знайдемо із умови нормування (4.14). Маємо:
Враховуючи значення
які виражаються формулами(4.15) і(4.17),
отримаємо
.
В другому доданку
суми, що в дужках, зробимо таку заміну:
.
Тоді
.
Із останнього рівняння знаходимо
(4.18)
Введемо таке
позначення
.
Тоді ерготичний розподіл системи МО
типу M/M/N/n буде таким:
(4.19)
Якщо враховувати значення , то формула(4.18) для визначення набуде такого вигляду:
.
(4.20)
4.4.1 Багатоканальна система з обмеженою чергою (m/m/n/n)
В цьому випадку
немає обмежень на тривалість перебування
в черзі. Тому
(
).
Це дає можливість систему рівнянь(4.10)
переписати в такому вигляді:
...................................................
...................................................................................
(4.21)
Початкові умови і умови нормування визначаються формулами(2.36) і(4.12).
Ерготичні розподіли
системи МО типу M/M/N/n
без обмежень на тривалість перебування
в черзі обчислимо за формулами (4.19) і
(4.20), взявши
(
).
В результаті отримаємо:
(4.22)
де
(4.23)