Приложение обработка результатов наблюдения § 1. Распределение Пуассона

В физике часто приходится встречаться с измерениями, результаты которых представляются в виде целых чисел. Через счетчик Гейгера за время измерения приходит целое – и обычно не очень большое – число частиц. Делящееся ядро распадается на целое число частей. Статистические закономерности, которые имеют место в этом случае, обладают некоторыми особенностями.

Рассмотрим счетчик, регистрирующий космические частицы. В то время как число отсчетов счетчика за любой промежуток времени является целым числом, интенсивность ν космического излучения (т. е. отнесенное к единице площади число отсчетов счетчика в секунду, усредненное за очень большой отрезок времени), вообще говоря, целым числом не выражается.

Найдем вероятность того, что при интенсивности ν счетчик за время измерения сработает n раз. Будем для простоты считать, что счетчик обладает единичной площадью,– окончательные формулы от этого предположения не зависят.

Поскольку мы приступаем к вычислению вероятностей, следует представить себе очень большое число совершенно одинаковых одновременно работающих счетчиков. Некоторая часть их сработает ровно n раз. Доля, составляемая этими счетчиками, по отношению к полному числу счетчиков и равна вероятности того, что через счетчик за время измерения пройдет n частиц.

Обозначим полное число счетчиков буквой N. Через них в секунду в среднем проходит Nν частиц, а за небольшое время dt пройдет Nν dt частиц. Если dt достаточно мало, то ни через один из счетчиков за это время не пройдет двух частиц, и наши счетчики можно разбить на два класса: те, через которые за dt прошла частица, и те, через которые не прошла. Последние составляют, конечно, огромное большинство. Число счетчиков, через которые прошла частица, равно, очевидно, числу сосчитанных частиц, т. е. приблизительно Nν dt, а их доля по отношению к полному числу счетчиков составляет Nν dt/N=ν dt.

Вероятность того, что за время dt через счетчик пройдет ча­стица, равна, следовательно, ν dt. Это утверждение справедливо только в том случае, если dt очень мало.

Вычислим теперь вероятность P₀(t) того, что за время t через счетчик не пройдет ни одной частицы. По определению число та­ких счетчиков в момент t составляет NP₀(t), а в момент t + dt равно NP₀(t + dt ). Это число меньше, чем NP₀(t), потому что за время dt их число убавится на NP₀(t) ν dt. Поэтому

NP₀(t + dt ) = NP₀(t) – NP₀(t) ν dt,

или

P₀(t + dt ) – P₀(t) = – P₀(t) ν dt,

Деля это равенство на dt и переходя к пределу, получим:

dP₀/ dt= – ν P₀

Интегрируя, найдем:

P₀(t) = – e^{– νt}. (П.1)

При интегрировании было принято во внимание, что в начальный момент времени вероятность найти счетчик, не сработавший ни разу, равна, конечно, единице.

Вычислим теперь P_n(t + dt ) – вероятность того, что за время: t + dt через счетчик пройдет ровно n частиц. Эти счетчики делятся на две группы. К первой принадлежат те, через которые все n частиц прошли за время t, а за время dt не прошло ни одной. Ко второй группе принадлежат счетчики, через которые за время t прошла n – 1 частица, а последняя частица прошла за время dt. Число первых счетчиков равно NP_n(t)(1 – ν dt), а число вторых составляет NP_n–1(t)ν dt. (Каждое из этих выражений состоит из двух сомножителей. Первый из них определяет вероятность нужного числа срабатываний за время t, а второй – вероятность несрабатывания или срабатывания за время dt.) Имеем, следовательно:

NP_n(t + dt ) = NP_n(t)(1 – ν dt) – NP_n–1(t)ν dt.

Перенесем NP_n(t)(1 – ν dt) в левую часть равенства и разделит его на Ndt:

Последовательно применяя полученную рекуррентную формулу к n = 1, n = 2 и т. д., с помощью (П.1) найдем:

.

Заметим теперь, что νt, которое мы обозначим через n₀, равно среднему числу частиц, проходящих через счетчик за время t.

Наша формула примет вид

(П.2)

Эта формула является окончательной и носит название закона распределения Пуассона. Она определяет вероятность того, что при среднем числе срабатываний n₀ (это число, вообще говоря, не является целым) произойдет именно n срабатываний (n – целое число).

З акон распределения Пуассона записан в такой форме, что из всех характеристик работы счетчика осталась только одна – его среднее число срабатываний за время измерения. Ни само время измерения, ни, тем более, площадь счетчика, которую мы вначале для простоты положили равной единице, в формулу не входят. Равным образом в формуле никак не отражено то обстоятельство, что мы рассматривали счетчик Гейгера, регистрирующий космическое излучение. С равным успехом эта формула применима к числу соединений на телефонной станции или к любой другой задаче, где число случаев является целым, а их появление в любой момент времени не зависит от числа случаев, произошедших ранее (независимые события).

Для иллюстрации на рис. 1 изображено распределение Пуассона для n₀ = 2,6. Ни для какого n величина P_n не равна нулю. Она достигает максимума при n = 2. Вероятность найти n = 0 оказывается довольно велика. Достаточно велика также вероятность того, что счетчик срабатывает 3, 5 и даже 7 раз.

Рассмотрим некоторые свойства формулы (П.2). Вычислим, прежде всего, вероятность найти какое угодно значение n:

.

Этот результат является очевидным, потому что хоть какое-нибудь значение n, конечно, всегда будет найдено на опыте, так что мы вычисляли вероятность достоверного события.

Вычислим среднее значение n:

.

Полученный результат тоже можно было предсказать заранее, поскольку мы исходили из того, что среднее значение n равно n₀.

Найдем теперь среднеквадратичное отклонение (стандартную ошибку) величины n. Для этого сначала вычислим дисперсию n (среднее значение квадрата отклонения):

.

Вычисление суммы в качестве полезного упражнения мы предоставляем читателям. Имеем, следовательно:

(П.3)

Этот результат мы уже использовали ранее без доказательства: стандартная погрешность, допускаемая при измерении числа отсчетов, равна корню квадратному из числа отсчетов.