7. Разложение непериодической функции.

Рассмотрим непериодическую функцию , заданную на всей числовой прямой. Ясно, что нельзя найти такой тригонометрический ряд, сумма которого во всех точках равнялась бы этой функции (так как каждый сходящийся тригонометрический ряд имеет своей суммой периодическую функцию).

Известно, что ряд Фурье для периодической функции совпадает с рядом Фурье для функции, полученной периодическим продолжением функции с отрезка длины , на котором она задана, на всю числовую ось .

Пусть непериодическая функция задана на всей оси и удовлетворяет условиям Дирихле на конечном отрезке . Следовательно, на этом отрезке она может быть разложена в ряд Фурье.

,

, где .

Таким образом:

,

так как , следовательно .

Тогда .

Устремим к бесконечности , тогда и сумма может рассматриваться как интегральная сумма для функции .

Так как , то преобразуется в непрерывный аргумент , :

, причем переставлять порядок интегрирования нельзя.

Полученное равенство называется интегральной формулой Фурье, правая часть - интегралом Фурье в комплексной форме.

Функция может быть представлена в виде интеграла Фурье если выполнены условия интегральной теоремы Фурье:

1. задана на всей оси ;

2. на любом конечном отрезке оси удовлетворяет условиям Дирихле;

3. абсолютно интегрируема на всей оси , то есть

, то есть сходится.

При этом

1. интеграл Фурье равен во всех точках непрерывности функции;

2. в точках разрыва интеграл Фурье равен .

Итак, интеграл Фурье в комплексной форме имеет вид .

Это можно записать иначе: - обратное преобразование Фурье, где - прямое преобразование Фурье.

Преобразования, определяемые этими формулами, называются интегральными преобразованиями Фурье (или формулами обращения Фурье), также называется волновым числом, но здесь оно принимает все значения от до и спектр волновых чисел называется непрерывным спектром.

В то время как разложение в ряд Фурье дает представление периодической функции в виде суммы гармонических колебаний с частотами , интеграл Фурье представляет функцию как бы в виде суммы бесконечно большого числа колебаний с непрерывно изменяющейся частотой . Говорят, что интеграл Фурье дает разложение функции в непрерывный спектр.

Если задана функция , то посредством обратного преобразования Фурье получают .

8. Интеграл Фурье в вещественной форме.

В такой форме интеграл Фурье можно записать, если - вещественна. Применяя формулу Эйлера, получим:

Выражение - четная функция относительно , а - нечетная функция относительно , поэтому второе слагаемое равно 0, а первое можно преобразовать.

- интеграл Фурье в вещественной форме.

Преобразовывая дальше, получим:

.

Обозначая

и (*),

получим:

. (**)

Эта формула дает разложение на гармоники с непрерывно меняющейся частотой .

Закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от выражается через функции и . Таким образом, прослеживается аналогия между полученным выражением и рядом Фурье, а также между выражениями для и и вещественными коэффициентами Фурье.

Аналогично, формулы (*) это прямое преобразование Фурье, а (**) это обратное преобразование Фурье в вещественной форме.