1.5. Схема дослідження функції та побудова її графіка

Щоб дослідити функцію та побудувати її графік треба:

1) Знайти область визначення функції;

2) знайти (якщо можна) точки перетину графіка з координатними осями;

3) дослідити функцію на періодичність, парність і непарність;

4) знайти точки розриву та дослідити їх;

5) знайти інтервали монотонності, точки екстремумів та значення функції в цих точках;

6) знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

7) знайти асимптоти кривої;

8) побудувати графік функції.

Розділ 2

ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

2.1. Означення та область визначення. Частинні похідні першого порядку

Нехай - множина упорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і і записують .

Змінну називають залежною змінною (функцією), а змінні та - незалежними змінними (аргументами).

Множину пар чисел , для яких функція визначена, називають областю визначення функції і позначають . Множину значень позначають .

Оскільки кожній упорядкованій парі чисел відповідає в прямокутній системі координат єдина точка площини, і, навпаки, кожній точці площини відповідає єдина упорядкована пара чисел , то функцію , де , можна розглядати як функцію точки і замість писати . Областю визначення функції у цьому випадку є деяка множина точок площини .

Значення функції в точці позначають або , або .

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції по змінній і позначається

.

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції по змінній і позначається

.

При обчисленні частинних похідних функції двох змінних користуються вже відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної. Слід лише пам’ятати, що при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції змінної , вважаючи змінну сталою. При знаходженні похідної сталою вважається змінна .

2.2. Повний диференціал функції. Похідні складених функцій

Повний приріст функції визначається за формулою

, (2.1)

де і - прирости незалежних змінних.

Повним диференціалом функції називається головна лінійна відносно і частина приросту функції, яка обчислюється за формулою

, (2.2)

де , .

Для наближеного обчислення значення функції двох змінних користуються наближеною рівністю

. (2.3)

Ця наближена рівність тим точніша, чим менше величини і .

Нехай - функція двох змінних і , кожна з яких, в свою чергу, є функцією незалежної змінної : , . Тоді функція є складеною функцією змінної .

Похідну цієї функції знаходять за формулою

. (2.4)

Зокрема, якщо , а , то

. (2.5)

Нехай - функція двох змінних та , які також залежать від змінних та : , . Тоді функція є складеною функцією незалежних змінних та , а її частинні похідні по цим змінним обчислюються за формулами:

(2.6)