4.2. Способы представления решения уравнений состояния

В электротехнике приняты два способа представления решения дифференциальных уравнений цепей в зависимости от метода их решения. Рассмотрим особенности этих представлений на примере одномерного (скалярного) уравнения состояния относительно напряжения на С-элементе последовательного RC-контура, к которому приложено напряжение ,

, (29)

где – постоянная времени.

Применение метода вариации постоянных приводит к решению вида

. (30)

Первое слагаемое в уравнении (30) носит название реакции при нулевом воздействии (РНВ). Эта составляющая реакции определяется начальным состоянием цепи u(0) = U₀ в момент t = 0₊ и не зависит от внешнего сигнала. Второе слагаемое, называемое реакцией при нулевом начальном состоянии (РНС), определяется внешним воздействием и не зависит от начального состояния. Полная реакция является наложением РНС и РНВ

. (31)

Если принять e(t) = δ(t) и u(0) = 0, то формула (30) дает импульсную характеристику цепи . Поскольку h(t) с точностью до множителя совпадает с РНВ, то можно утверждать, что импульсная характеристика описывает свободный режим цепи, начальное состояние которой задается дельта-функцией.

Если множитель exp(at) внести под знак интеграла (30), то РНС определяется как свертка воздействия е(t) и импульсной характеристикой h(t)

. (32)

Рассмотренное представление (31) решения динамического уравнения (29) широко используется при описании систем автоматического управления.

Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно также представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В задачах электротехники первое слагаемое решения называется свободной составляющей , второе – вынужденной составляющей

. (33)

Зависимость вынужденной составляющей от времени определяется видом функции e(t). В ряде случаев, например, когда e(t) является постоянной величиной или периодической функцией, вынужденную составляющую называют установившейся реакцией .

В свободной реакции (33) также можно выделить две составляющие: первая совпадает с РНВ, вторая обусловлена ступенчатым подключением цепи к источнику e(t) при нулевом начальном состоянии.

Связь между двумя способами представления реакции цепи видна из сравнения двух записей решения уравнения (29) в форме (31) и (33) при :

4.3. Решение уравнений состояния с помощью

матричных экспонент

Решение матричного уравнения переменных состояния (1) записывается по аналогии с решением скалярного уравнения (30):

, (34)

где A и B – матрицы уравнений состояния; e – вектор независимых источников.

Определим реакцию рассматриваемой цепи (см. рис.1) на действие источника постоянного напряжения , при нулевых начальных условиях. В этом случае интегрирование выражения (34) имеет вид

. (35)

При отыскании решения х главным является вычисление матричной экспоненты e^At, называемой матрицей перехода, или переходной матрицей. Из существующих методов вычисления матричной экспоненты рассмотрим метод, основанный на теореме Кели – Гамильтона. В соответствии с этим методом сначала вычисляют собственные значения _i матрицы A из уравнения

где 1 – единичная матрица.

Для рассматриваемого примера последнее выражение имеет вид

;

. (36)

Откуда , .

Выражение для матрицы перехода в случае двух разных собственных чисел и имеет вид

, (37)

где и – неизвестные функции.

Для определения этих функций образуют полином

и составляют систему уравнений из условия

; .

Решение системы относительно функций и имеет вид

.

Подставив в это решение значения и , получим

.

С учетом полученного вектора  выражение (37) принимает вид

.

После вычислений в формуле (35) получим решение

.

Приведем пример вычисления реакции x(t) с помощью символьного процессора системы MATLAB в соответствии с приведенным алгоритмом:

>>syms t

>>A = [–1/8, 5/4; –5/6, –11/3]; B = [1/4; 5/3];

>>I = [1,0;0,1]; R = inv(A); F = expm(t*A); U = 10;

>>X = (F – I)*R*B*U; vpa(X,3)

ans = 

–22,2*exp(–0,447*t) + 2,2*exp(3,35*t) + 20,0]

–5,77*exp(–3,35*t) + 5,77*exp(0,447*t)].

Компьютерное моделирование динамических процессов может быть выполнено с помощью блока переменных состояний State-Space, который имеется в библиотеке Simulink системы MATLAB. Этот блок использован в разделе, посвященном приближенному определению импульсной характеристики четырехполюсника. В качестве входных данных блока State-Space используются элементы матриц A, B, C, D. Ввод элементов матриц в окно расчетного блока осуществляется следующим образом:

A = [–1/8 5/4; –5/6 –11/3]; B = [1/4; 5/3];

C = [0 1; 1/6 –11/3]; D = [0; 5/3].