1.5. Дискретные вероятности.

Это общий тип многих вероятностных пространств, включающий и классический, и часто встречающийся в примерах.

В качестве достоверного события берется конечное или счетное множество . События – это все подмножества . Вероятности элементарных событий считаются равными заданным значениям: . . На числа наложены естественные условия: . .Вероятность любого события считается по формуле

,

Иными словами, вероятность события есть сумма вероятностей тех исходов, которые благоприятствуют появлению события А.

Случайные величины, определенные в дискретном вероятностном пространстве, называются дискретными случайными величинами.

Пример 4. – целые неотрицательные числа. Если взять , то получим распределение Пуассона с параметром λ. Такие значения хорошо моделируют вероятности появления редких случаев (k – конкретное число редких случаев, λ – средне число редких случаев за 1 единицу времени) в однородном потоке событий и постоянно используются в страховании (в актуарной финансовой математике). Само число редких случаев – пример дискретной случайной величины. Например, число пожаров за определенный период в большом городе – случайная дискретная величина, распределенная по закону Пуассона.

1.6. Непрерывные вероятности.

Это также общий тип многих вероятностных пространств, часто встречающийся в примерах. Почти вся математическая статистика имеет дело с непрерывными вероятностями.

В качестве достоверного события берется множество всех вещественных чисел Любое число является элементарным событием (исходом). Однако событиями являются не все подмножества , а лишь те, которые можно получить из различных интервалов (a,b) с помощью конечного или счетного числа операций дополнения, объединения, пересечения. Берется функция на всей числовой прямой со свойствами: 1) ; 2) Интеграл от по любому отрезку (или интервалу, нет разницы) имеет смысл и конечен; 3) Такие функции называются плотностями вероятности, также дифференциальными функциями распределения..

Вероятность любого события считается по формуле

.

Иными словами, вероятность события есть интеграл от плотности по множеству-событию.

Такие вероятностные пространства необходимо возникают при изучении случайных величин, принимающих несчетное множество значений. Случайные величины, определенные в непрерывном вероятностном пространстве, называются непрерывными случайными величинами.

Примерами могут быть, например, курсы акций, времена между последовательными наступлениями редких событий, результаты физических измерений, громкость аналоговых сигналов и т.п. Задание функции плотности задает распределение непрерывной случайной величины. Некоторые, наиболее часто применяемые в приложениях виды распределений, имеют особые названия (часто – «закон»). Распределения одного вида могут различаться между собой числовыми параметрами. Про соответствующие случайные величины говорят, что они «имеют распределение … с параметрами…», «распределены по закону… с параметрами… », «имеют стандартное … распределение» (в этом последнем случае распределение имеет особые параметры, соответствующие случайные величины называются стандартными). Обычно случайные величины, имеющие распределение определенного типа, можно выразить через стандартные случайные величины. В вероятностных таблицах приводятся часто лишь стандартные распределения.

Ниже приведены 3 важных примера непрерывных распределений.

Равномерное распределение на отрезке [0, 1] (Другие названия: стандартное равномерное распределение, датчик случайных чисел).

Единственная случайная величина, которую непосредственно можно получить в EXCEL, как раз имеет такое распределение. Ее значение (случайное) получается в ячейке, если указать формулу «=СЛЧИС()», и меняется при любом действии на листе EXCEL.

Функция плотности задается простой формулой

= 1, если ; = 0, в противном случае. График представляет ступеньку высотой 1 над отрезком [0, 1].

Если – случайная величина, равномерно распределенная на [0, 1] (то есть датчик), то для любого интервала (a, b): , то есть зависит лишь от длины интервала b – a, и не зависит от местоположения интервала. Отсюда название «равномерное распределение».