6.6. Замечательные пределы.

Первым замечательным пределом называется

.

Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности

.

Можно доказать, что и

6.7. Непрерывность функции.

Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке (т.е. существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Свойства функций, непрерывных в точке:

Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии, что ) являются функциями, непрерывными в точке .

Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М (теорема Вейерштрасса).

Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри найдется точка такая, что (теорема Больцано-Коши)

Лекция 7 Производная.

7.1. Определение производной.

При построении и исследовании математических моделей необходимо учитывать не только основные свойства элементарных функций, рассматриваемые ранее. Одной из важных характеристик функции является скорость ее изменения. Определить скорость изменения функции можно с помощью касательных к графику функции. Чем ближе угол наклона касательной к оси Ох к 90, тем выше скорость изменения функции.

Ч ерез точки и проведем к графику данной функции секущую. Обозначим ,

Определим угол наклона секущей относительно оси Ох:

У стремим к нулю. Тогда точка В устремиться к точке А, а секущая АВ будет стремиться к касательной, проходящей через точку А.

Т.е. при , где – угол наклона касательной к оси Ох, .

Производной функции называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует).

.

Если функция в точке (или в каждой точке промежутка Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (на этом промежутке).

Если функция дифференцируема в точке (или в каждой точке промежутка Х), то она в этой точке (или на промежутке) непрерывна. Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. .

Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид

.