Іv. Дещо із історії комбінаторики

Вже в школі піфагорійців (VІ-IV ст. до н.е.) вивчались «трикутні числа», які представляють собою сполуки (комбінації) по 2 елементи.

У документах, що відносяться до початку нашої ери, згадуються «чотиригранні», або «пірамідальні» числа, що представляють собою . «Трикутними» називають числа виду ,

надаючи n значення 1,2,3,4,…отримаємо «трикутні» числа 1,3,6,10,…

Якщо однакові кульки викласти на площині у вигляді трикутника так, що у верхньому ряду знаходиться одна кулька, в наступному - 2, потім - 3, 4 і т.д., то загальне число кульок в перших рядах виразиться «трикутними» числами.

Подібно «пірамідальні» або «чотиригранні» числа пов’язані з числом кульок, складених у вигляді піраміди так, що у верхньому ряду знаходиться одна кулька, що лежить у заглибленні між трьома іншими кульками іншого ряду, що дотикаються одна одної. Кожний наступний ряд містить наступне число кульок (1,3,6,10,15…) . Таким чином першими «пірамідальними» числами служать 1,4,10,20,35… і вони представляють число сполук (комбінацій) з 3,4,5 і т.д. елементів по 3.

У всіх країнах світу люди з давніх давен грали в азартні ігри. Серед них – знаменита гра в кості. Особливо широке розповсюдження отримали азартні ігри з розвитком грошового обороту. Високоповажні графи і морські розбійники-пірати,візантійські купці і золотошукачі Невади, блискучий д’Артаньян і його товариші-мушкетери всі були заражені азартом цієї древньої гри. Атос оцінив свого слугу Грімо в 10 ставок. Гра розповсюджувалась настільки, що християнській церкві прийшлось видавати укази і постанови, що забороняли або обмежували гру. Учасникам ІІІ хрестового походу не дозволялось програвати більше 20 шилінгів за добу. Людовік ІХ (ХІІІ ст.) заборонив не тільки гру, але навіть виготовлення костей. Видавали закони про заборону гри і на Русі.

У ХVІІ ст. в Європі стали розповсюджуватись таблиці, в яких перелічувались можливості отримання різного числа очок на двох і трьох костях. Математики стали аналізувати комбінації, що отримуються при киданні костей. Найбільш переконливо це зробили Галілей, Паскаль і Ферма.

Паскаль і Ферма виклали свої результати в листах. В 1653році Паскаль писав друзям про підготовлений ним рукопис; але його «Трактат про арифметичний трикутник» був опублікований посмертно лише у 1665 році. Рукописи Галілея побачили світ тільки в 1718 році.

Вважають, що систематичне викладення формул і законів комбінаторики було вперше здійснено в 1666 році Г.Лейбніцом у книзі «Міркування про комбінаторне мистецтво»; у 1713 році появилась книга Я.Бернуллі «Мистецтво передбачення», що містила також формули комбінаторики; зрештою великий Л.Ейлер розглядав ряд комбінаторних задач, з яких пізніше розвинулись самостійні галузі науки, які знаходять в наші дні широке використання.

Уже багато сотень літ люди використовують різні форми тайнопису-криптографії. Щоб текст не могли прочитати непосвячені, слова іноді записували у зворотньому напрямку, тобто від кінця до початку; іншим разом користувались заміною одних букв алфавіту іншими; щоб прочитати такий запис треба було знати «ключ» - спосіб заміни букв. Розвиток комбінаторних методів дозволив розшифрувати такі записи. Перемога Кромвеля в громадянській війні (Англія, середина ХVIIст.) була в значній мірі полегшена розкриттям намірів монархістів. Змовники думали, що їхні наміри були видані тайним агентом Кромвеля. Але після реставрації Стюартів стало відомо, що один із кращих англійських математиків того часу зумів дуже швидко розгадати нескладні шифри змовників.

Декілька сотень років тому назад вчений, який зробив деяке відкриття, публікував про це повідомлення або видавав книгу. Якщо ж відкриття було ще недостатньо перевірено, то публікація могла виявитись передчасною, а затримка публікації грозила втратою пріоритету. Тому багато вчених публікували (або посилали другим вченим в листах) коротке повідомлення у формі анаграми.

Анаграма-слово (або фраза) складена із тих же букв, але в іншому порядку. «Нива» і «Вина»-анаграми.

Галілей, спостерігаючи в 1610 році Сатурн з допомогою побудованого ним телескопа, помітив у нього два супутники. Але, не будучи впевненим у своєму відкритті, він повідомив про це анаграмою, зашифрувавши латинською повідомлення, яке можна було перекласти так: «Височайшу планету трійною спостерігав».

Півстоліття пізніше голандський вчений Христіян Гюйгенс з допомогою більш потужного телескопа виявив кільце Сатурна і помістив у черговій брошурці анаграму свого відкриття. А англійський математик Уолліс ( той же, що допомагав Кромвелю дешифрувати переписку монархістів) зумів розшифрувати її і, жартуючи, післав у свою чергу Гюйгенсу повідомлення, також у формі анаграми, про своє аналогічне відкриття. Кажуть, що Гюйгенс, сам великий любитель і знавець комбінаторики, не захотів сприйняти жарт і розсердився.

Сучасний вид формули комбінаторики прийняли до початку

ХІХ ст.; в цей час уже повністю сформувалась і сучасна алгебраїчна символіка.

У наш час комбінаторні задачі розв’язуються спеціалістами науки, техніки, народного господарства.