Пример №5

Для заданной на рис.5 стальной балки требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать три типа поперечных сечений и сравнить вес балок. _adm=160Мпа

Решение. Определим реакции, составив два уравнения моментов (рис.5.а)

l F

 m_a=0 Vb l- F = 0 V_B= = 17,5 кН

2 2

l F

- Vа l+F = 0 Va= = 17,5 кН

m_b=0 2 2

Для проверки используем уравнение

у = 0 V_A + V_B – F = 17,5 + 17,5 – 35 = 0

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Зная реакции строим эпюры поперечных сил ( рис. 5.б) и изгибающих моментов (рис. 5.в)

Опасным является сечение балки под силой F

M_max = 35 кН м

Требуемый момент сопротивления поперечного сечения определяем из условия прочности при изгибе

M_max

 =  _adm

W_x

M_max 35 10³

W_x  = = 21810^-6 м³

_adm 160 10⁶

D³

В случае круглого сечения W_x =

32

В случае прямоугольного сечения (при h=2b)

h=2b = 269 = 138мм

А_пр= b h = 6,913,8 = 95,2(см²)

Номер двутаврового сечения, имеющего момент сопротивления, близкий к требуемому, определяем по таблице сортамента

(ГОСТ 8239-89).

Принимаем двутавр №22, имеющий Wx = 232 см³ и А_qb = 30,6 см²

Вес балок пропорционален их площади поперечного сечения

Следовательно двутавровая балка в 4,35 раза легче круглой и в 3,1 раза легче прямоугольной.

ПРИМЕР № 6

Определить диаметр стального вала ременной передачи по IV гипотезе прочности. Имеются следующие данные:

N₁=70кВт, N₂=40кВт, N₃=30кВт

n=300обмин. =30, D1=0,4м, D2=0,7м, D3=1м.

_adm=160МПа (рис.6а)

в кНм

Решение. Определим моменты, передаваемые шкивами.

м

м

м

Эпюра крутящих моментов, построенная по этим значениям, представлена на рис.6.б.

Для вращающего вал момента, равного крутящему моменту М_к, имеем формулу

D1

М₁=М_к=t

2

где D₁-длинна первого шкива;

отсюда

для второго и третьего шкива аналогично

Таким образом, в сечениях посадки шкивов вал нагружен силами

F₁=3t₁=3 1135,85=3407,6(кГ)

F₂=3t₂=3 370,88=584,2(кГ)

F₃=3t₃=3 194,72=584,2(кГ)

Для вычисления наибольшего изгибающего момента определим сначала изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Для этого разложим силу F₁ на вертикальную и горизонтальную составляющие. Тогда вертикальная составляющая от первого шкива будет равна

F^в₁=F₁ cos 30=3407,6 0,866=2951(кГ)

от второго шкива F^в₂=F₂=584,2кГ

от третьего шкива F^в₃=0

Горизонтальная нагрузка от первого шкива

от второго шкива

от третьего шкива

Схема балки от вертикальных составляющих приведена на рис.6.б., а от горизонтальных - на рис. 6.в.

Для нагрузок и , действующих в вертикальной плоскости, обычным путем определим опорные реакции:

и и построим эпюру изгибающих моментов (см. рис.6.г.)

Аналогично этому от нагрузок и действующих в горизонтальной плоскости, определяем опорные реакции и и строим эпюру изгибающих моментов (см.рис.6.д и 6.е.)

Результирующую эпюру изгибающих моментов строим по трем точкам

Результирующая эпюра изгибающих представлена на рис.6.ж.

Таким образом, опасным сечением является сечение В.

Необходимый диаметр вала находим по формуле

ПРИМЕР № 7

Построить эпюры внутренних усилий, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, изображенного на рис.7.а. Брус состоит из прямолинейных элементов, параллельных и перпендикулярных друг другу. Определить диаметр ломанного бруса в опасном сечении используя третью теорию прочности. _adm=160МПа.

Решение. Обозначаем I защемленный конец бруса, а II - концы G и С (рис.7.а).

Составляем выражения внутренних усилий в элементах бруса; при этом все величины принимаем в тоннах и метрах.

Элемент FG.

При определении усилий в элементе FG используем систему координат xyz, изображенную около элемента BD (рис. 7.а):

Q_y=Y=(F₁)=F₁=2T

_II

Выражения остальных усилий имеют вид

Q_z=0; N=0; M_z=F₁x₁=2x₁

(сжаты нижние волокна);

M_y=0; M_k=0.

Элемент EF:

Q_y=0; Q_z=0; N=F₁=2T; M_z=F₁ 1,2=2 1,2=2,4Tм

(сжаты задние волокна); M_y=0; M_k=0.

Элемент DE  система координат xyz, изображенная около элемента АВ (см.рис.7.а).:

Q_z=0; Q_y=Y=F₁+qx₂=2+1 x₂; N=0;

(сжаты нижние волокна);

M_y=0; M_k=F₁x₁ 1,2=2 1,2=2,4 Тм.

Элемент BD:

Q_y=Y=F₁+q 1=2+1 1=3T; Q_z=0; N=0;

_II

M_y=0; M_z=F₁(1,2+x₃)+q 1 x₃=2(1,2+x₃)+1 1 x₃=2,4+3x₃

(сжаты нижние волокна);

Элемент ВС:

Q_z=Z=F₂=3T; Q_y=0; N=0; M_z=0;

_II

M_y=F₂x₄=3x₄

(сжаты задние волокна); Мк=0.

Элемент АВ:

Q_z=Z=F₂=3T; Q_y=Y=F₁+q 1=2+1 1=3T N=0;

_II

M_z=F₁(1x₅)+q 1 (0,5x₅)=2(1x₅)+1 1(0,5x₅)=2,53x₅

(при М_z0 сжаты верхние волокна);

M_y=F₂(0,9+x₅)=3(0,9+x₅)=2,7+3x₅

(сжаты задние волокна);

M_k=F₁(1,2+1)q 1 1=2 2,21 1=5,4Tм

Эпюры внутренних усилий, построенные по полученным выражениям, изображены на рис. 7.б, в, г, д.

При определении диаметра ломаного бруса учитываем напряжения от изгиба и кручения, а напряжениями от продольной и поперечной сил пренебрегаем в силу их малости. Опасным сечением является I.