Результат решения.

Результат заданного разбиения пространства

коэффициентов А и В представлен на рис.3.

Нумерация областей совпадает с принятой на рис.1. Области 1,2,3 соответствуют устойчивым решениям дифференциального уравнения, а область 4  неустойчивому.

Практическая часть

Задание:

Для дифференциального уравнения

в плоскости его коэффициентов А и В найти область, соответствующую степени устойчивости

= -3, выделив на ней подобласти с различным характером поведения решения y(t) при изменении аргумента t (рис.4а).

Решение:

Для анализа устойчивости решения y(t) дифференциального уравнения

составим характеристическое уравнение

s³+As²+Bs+1=0,

корни которого обозначим через s₁,s₂,s₃.

В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову устойчивое решение y(t) будет получено, если все корни s₁,s₂ и s₃ будут иметь отрицательные вещественные части, т.е. будут располагаться слева от мнимой оси комплексной плоскости s=j.

Характер устойчивого решения y(t) зависит от взаимного расположения корней характеристического уравнения. Для рассматриваемого уравнения с тремя корнями возможны следующие основные варианты их взаимного расположения, рис.1:

1  все корни вещественные: -₁; -₂; -₃;

2  два корня комплексно-сопряженные и один вещественный: -₁; -₂; причем ₁<₂;

3  два корня комплексно-сопряженные и один вещественный: -₁; -₂; причем ₁>₂;

4 – комплексные корни имеют положительную вещественную часть: -₁; ₂ (неустойчивое решение).

Для области, расположенной слева от мнимой оси комплексной плоскости корней характеристического уравнения, обладающей степенью устойчивости ξ = -3,рис.6.

1-все корни вещественные:-α₁; -α₂;-α₃;

2-два корня комплексно-сопряженные и один вещественный:-α₁; -α_{2 ;} причем α₁< α₂, α₂

Рис.6-Основные варианты расположения корней,

принадлежащих области расположенной слева от

мнимой оси комплексной плоскости корней

характеристического уравнения со степенью устойчивости ξ = -3.

Варианты 3,4 не принадлежат области, расположенные слева от мнимой оси комплексной плоскости корней характеристического уравнения и не обладает степенью устойчивости ξ = -3.

Для выделения в плоскости ВоА указанных подобластей 1,2 необходимо найти расположение корней, соответствующие границам 1-2, 2-3 между этими подобластями

Рис.7-Расположение корней, соответствующие границам

Взаимосвязь корней с коэффициентами А и В определим по формулам Виета:

Подставляя вместо выражения для корней, соответствующие искомым границам, получим уравнения для этих границ в плоскости ВоА в параметрическом виде.

Для границы 1-2:

корни

коэффициенты

где

Построить эту границу можно, изменяя от 3 до . При этом будет обеспечено условие .

Для границы 2-3:

коэффициенты

где

Примечание: выражение для искомых границ в данной задаче могут быть получены в явном виде В(А), однако, параметрический вид решения обладает большей общностью и может быть распространен для задач анализа уравнений с более высоким порядком.

Программа вычислений А и В для каждой из указанных границ в пакете MathCad представлены ниже.