3.2. Экономическая интерпретация задач линейного программирования

Пример. Пусть требуется определить план выпуска четырех видов продукции А, В, С, D, для изготовления которых используются ресурсы трех видов: трудовые, мате­риальные, финансовые. Количество каждого i-го вида ресур­са для производства каждого j-го вида продукции называют нормой расхода и обозначают а_ij. Количество каждого вида ресурса, которое имеется в наличии, обозначают b_i (табл. 3).

Таблица 3

Ресурсы (i)	Вид продукции (j)				Запас ресурса (bi)
	А	В	С	D
	Удельный расход ресурсов (аij)
Трудовые	6	4	2	1	800
Материальные	7	9	11	5	2000
Финансовые	3	4	5	6	12000
Граница нижняя	1	-	3	-	-
Граница верхняя	12	2	-	-
План	x1	x2	x3	x4	-

Из табл. 3 видно, что для выпуска единицы продук­ции, например, вида А, требуется шесть единиц трудовых ресурсов, вида С - 11 единиц материальных ресурсов и т. д. Предприятие располагает 12000 единиц финансовых ре­сурсов, 2000 единиц материальных, 800 единиц трудовых. Исходя из рыночного спроса и производственно-техноло­гических возможностей (производственной мощности, уров­ня специализации, минимальных объемов выпуска), заданы верхние и нижние предельные границы выпуска каж­дого вида продукции (в натуральных или стоимостных еди­ницах).

Исходные данные таблицы по удельному расходу мате­риальных и трудовых ресурсов проставляются в соответ­ствии с действующей на предприятии нормативной и тех­нологической документацией. Так, нормы расхода матери­альных ресурсов на каждое изготовляемое предприятием изделие содержатся в маршрутных ведомостях. Нормы тру­доемкости изготовления изделия - в нормо-расценочных ведомостях или картах технологических процессов. При­чем по строке «трудовые ресурсы» проставляется сводная трудоемкость изготовления изделия в нормо-часах как сум­марная по всем деталеоперациям этого изделия. А по стро­ке «материальные ресурсы» - норма расхода наиболее де­фицитного (лимитируемого) вида материалов в принятых для этого материала единицах измерения (т, кг, м, л и др.). Впрочем, не исключена возможность представления всех исходных данных таблицы и в стоимостных единицах, как они проставлены по строке «финансовые ресурсы». Под удельным расходом финансовых ресурсов можно понимать, например, капиталоемкость производства каждого изде­лия, обусловленную необходимостью капитальных вло­жений в новое строительство или реконструкцию действую­щего производства. Если наличие каждого вида ресурсов (b_i, i = 1, 2, 3) выражено в табл/ 3 в стоимостных еди­ницах, то очевидно, что суммарный запас ресурсов пред­приятия составляет 14800 денежных единиц.

На основании исходных данных требуется составить математическую модель для определения плана выпуска продукции.

Решение. Обозначим через х₁, x₂, х₃, х₄ - количе­ство выпускаемой продукции видов А, В, С, В, которое необходимо определить.

Теперь составляем ограничения. Из табл. 3 видно, что для выпуска единицы продукции А требуется 6 единиц трудовых ресурсов, B, С, D - соответственно 4, 2, 1 еди­ниц трудовых ресурсов. Тогда необходимый трудовой ре­сурс для выпуска всех видов продукции будет равен .

Очевидно, что потребный ресурс не может превышать располагаемый, т.е. для трудового ресурса будет справедли­во неравенство

где 800 - располагаемый ресурс (табл. 3).

Если составить аналогичные зависимости для остальных видов ресурсов и добавить предельно допустимые значения выпуска каждого вида продукции, то получим систему:

В этой системе неравенства, устанавливающие зависи­мости для ресурсов, - ограничения, а предельно допусти­мые значения переменных - граничные условия. В огра­ничениях левые части неравенства - потребные ресурсы, а правые - располагаемые.

Если в неравенства ввести дополнительные переменные: , то можно записать

В этой системе уравнений дополнительные переменные означают разность между располагаемым ресурсом и по­требным и, следовательно, равны недоиспользуемым вели­чинам ресурсов, т.е. это резервы каждого вида ресурсов.

Очевидно, что система, содержащая 3 уравнения и 7 переменных, имеет бесчисленное множество решений, т.е. различных вариантов плана. Все эти возможные варианты, включающие удовлетворяющие системе значения основных и дополнительных переменных, являются допустимыми планами.

Если получить оптимальное решение очень важно, то иметь допустимое решение - необходимо.

Итак, любая, разумеется, правильно составленная (как и в данном примере) задача планирования имеет бесчис­ленное множество допустимых решений. Какое из них выбрать?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сформули­ровать задачу оптимизации в какой-либо из двух взаимоис­ключающих постановок.

Обозначим F - ресурсы, R - результат их примене­ния. Тогда при заданных зависимостях результата и по­требных ресурсов от количества выпускаемой продукции обе постановки распределения ресурсов в сокращенной записи можно представить:

- для первой постановки -

• для второй постановки -

где F*, R* - заданные (плановые или прогнозируемые) ве­личины ресурсов и результата.

Для составления модели в какой-либо постановке по­требуются дополнительные данные относительно единич­ной эффективности производства и реализации каждого вида продукции предприятия, например, прибыль от реа­лизации единицы продукции каждого вида и плановая при­быль в целом от производства всей продукции.

Пусть для продукции видов А, В, С, D она составит соответственно 5, 6, 7 и 8 денежных единиц, а суммарная прибыль от всего производства должна быть не менее 3000 денежных единиц.

Тогда для первой постановки к уже составленной систе­ме ограничений и граничных условий добавляем целевую функцию и получаем математическую модель:

Для второй постановки:

Так как - резервы по ресурсам, то максими­зация их суммы обеспечивает минимизацию используемых ресурсов.

Из решения задачи в двух различных постановках (см. табл. 4) видно, что результаты решения тоже различные.

Таблица 4

Поста-новка	Целевая функция	Граничные условия	R0	F0
1		F≤14800	3162	4774	1	0	3	392	396	0	9630
2		R≥3000	4531	137	1	0	3	371,75	416,25	101,25	9751,5

В первой постановке max L₁ = 3162 денежных единиц. Общее количество использованных ресурсов F = 4774 единиц. При этом ресурсы оказались подразделенными на две группы: лимитирующие, для которых у_i = 0, и нелимитирующие, для которых у_i > 0. К первой группе относятся: материальные ресурсы, ко второй - трудовые и финансовые. Значит, уве­личение запасов материалов позволит найти такой новый оптимальный план производства и реализации продукции, выполнение которого приведет к увеличению прибыли, а прирост трудовых и финансовых, по которым и так имеются резервы в объемах у₁ = 396 и у₃ = 9630 единиц, - нет.

Отсюда следует, что для повышения эффективности про­изводства (роста прибыли предприятия) потребуется уве­личение запасов не всех ресурсов, а только лимитирующих (на практике же, как правило, стремятся к необоснованно­му наращиванию запасов всех ресурсов по известному прин­ципу «запас карман не тянет»).

Во второй постановке суммарный расход ресурсов ока­зывается несколько меньше и составляет F = 4531 единиц, и для всех их видов есть резервы.

Таким образом, по результатам после оптимизационно­го анализа сформулированной нами в обеих постановках задачи распределения ресурсов можно сделать следующие весьма важные для эффективного менеджмента предприя­тия выводы:

1. реализация найденных оптимальных планов обеспе­чивает достижение цели предприятия - максимальной эф­фективности деятельности (или по максимально возможной величине прибыли от реализации, или по минимуму издер­жек - расхода наиболее важнейших для предприятия ре­сурсов), особенно если его изделия конкурентоспособны;

2) реализация найденных оптимальных планов будет возможна даже в условиях высвобождения денежных средств, связанных в излишних, сверх требуемых на вы­полнение этих планов, запасах ресурсов. Понятно, что реа­лизация излишних запасов ресурсов в пределах выявлен­ных резервов будет способствовать еще большему росту эффективности деятельности предприятия, а значит, и ста­билизации его рыночных позиций.

Конечно, все эти потенциальные возможности предприя­тия достигаются, если: а) подобную задачу в любой из этих постановок или в обеих постановках менеджеру удалось сформулировать, для чего необходимо будет предваритель­но подготовить исходные данные; б) подобную задачу уда­лось решить, что возможно только при сбалансированно­сти и совместности ее условий.