1.1.10 Основная теорема логического вывода.

Следующая теорема определяет условия, при которых можно проверить правильность схемы рассуждений без использования таблиц истинности. Именно на этой теореме основаны все методы логического вывода как в логике высказываний, так и в логике предикатов. Поэтому ее можно назвать основной теоремой логического вывода.

Теорема 1. Формула В является логическим следствием формул тогда и только тогда, когда формула общезначима.

Доказательство. Необходимость. Пусть В является логическим следствием формулы . Докажем, что общезначима.

Рассмотрим произвольный набор значений переменных .

Если на наборе все формулы истинны, то истинной будет и конъюнкция . Из определения логического следствия вытекает истинность формулы В на наборе и, следовательно, истинность импликации .

Если на наборе хотя бы одна формула ложна, то и конъюнкция ‑ ложна, но импликация , в силу её определения, будет истинной независимо от того, какое значение принимает В. Следовательно, на наборе формула общезначима.

Достаточность. Предположим, что формула общезначима. Тогда для любого набора значений переменных , на котором все формулы истины, формула тоже истина. Поскольку общезначима, то в силу определения импликации, на наборе формула В истина. Поэтому формула В является логическим следствием формул .

Из теоремы 1 вытекает, что если , то или .

Теорема 2. Формула В является логическим следствием формул тогда и только тогда, когда формула невыполнима, т.е. .

Доказательство. По теореме 1 формула В является логическим следствием формул тогда и только тогда, когда общезначима, или, что то же, отрицание формулы невыполнимо. Но по закону де Моргана . 

Доказательство «от противного».

Из теоремы 2 вытекает принцип дедукции, что если , то или .

На основе этого принципа строится способ доказательства, который называется доказательством "от противного" или "reductio ad absurdum". В этом случае в множество аксиом добавляется высказывание, равное отрицанию того, что необходимо вывести. После этого нужно доказать, что из расширенного множества аксиом выводимо противоречие.

Пример. Требуется доказать или опровергнуть вывод

{ , , }½= .

Решение. Докажем, что { , , , }½= 0.

Обозначим`

(1),

(2),

(3),

(4).

Тогда из

(4) Þ`С=1 Þ С=0 (5),

(4) Þ`D=1 Þ D=0 (6),

(6) и (3) Þ A=1 (7),

(7) и (1) Þ B=1 (8),

(8) и (2) Þ С=1 (9),

(8) и (9) Þ , то есть противоречие.

Значит, верно, что .

Доказательством "от противного" имеет смысл пользоваться, когда необходимо доказать утверждение вида дизъюнкции или следования.

Задача выявления выполнимости и общезначимости формулы может оказаться довольно длительной процедурой. Заманчиво иметь более эффективный алгоритм проверки, чем последовательный просмотр всех интерпретаций.

1.1.11 Приведение к нормальным формам.

Как, анализируя формулу в нормальной форме, можно сделать вывод о её общезначимости или невыполнимости? Возьмем ДНФ, то есть представление формулы в виде дизъюнкций конъюнкций . Для того чтобы сделать вывод о её общезначимости, нужно анализировать всю формулу целиком: каждая конъюнкция общезначимой формулы может быть истинной на нескольких наборах значений переменных. В то же время вывод о невыполнимости дизъюнкции конъюнкций можно сделать легко: каждая конъюнкция ДНФ невыполнимой функции должна быть невыполнима, а это очень легко проверить: конъюнкция невыполнима тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну пару противоположных сомножителей. Полностью аналогично можно использовать представление в виде КНФ, но для определения общезначимости функции. Очевидными следствиями предыдущих теорем являются:

Теорема 3. Для того, чтобы формула В была логическим следствием формул , необходимо и достаточно, чтобы каждая конъюнкция ДНФ формулы содержала пару противоположных сомножителей.

Теорема 4. Для того, чтобы формула В была логическим следствием формул , необходимо и достаточно, чтобы каждый дизъюнкт КНФ формулы содержала пару противоположных слогаемых.

В качестве примера докажем правильность схемы рассуждения «Узнала-спросила»

(пример 2 из пункта 1.1.9) приведением к ДНФ:

Поскольку каждый конъюнкт содержит пару противоположных сомножителей, эта формула невыполнима и, следовательно, схема рассуждения «Узнала-спросила» правильна. Заметим, что это доказательство намного проще построения и анализа таблиц истинности.