4.2. Пересечение прямой линии с поверхностью конуса

Задача. Найти точки пересечения прямой АВ с прямым круговым конусом (рис. 22).

Рис.22

Заданная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, поэтому задача имеет два решения.

Первое решение:

1. Прямую заключаем в горизонтальную плоскость.

2. Находим её сечение с конусом в виде круга на горизонтальной плоскости проекций.

3. Пересечение прямой с окружностью даст две точки К и F.

Второе решение:

Это решение подходит и для прямой общего положения.

1. Плоскость (общего положения) проводится через две точки прямой АС и вершину конуса.

2. Находим след плоскости ASC. Для этого ищем следы прямых SA и SC – это точки М₁ и М₁¹ , проводим горизонтальный след секущей плоскостью.

3. Линия пересечения следа плоскости с основанием конуса даст две точки D и E. Соединяя их с вершиной, получим сечение конуса в виде треугольника, а на нём - точки пересечения К и F прямой с поверхностью конуса.

4.3 Пересечение тел

Пересечение двух поверхностей находят:

1. Способом вспомогательных секущих плоскостей – проецирующими плоскостями или плоскостями общего положения.

2. Способом сфер или шаровых поверхностей.

Выбор положения вспомогательных плоскостей (посредников) определяется положением данных геометрических тел, необходимо стремиться к получению сечений простейшего вида.

В зависимости от расположения тел по отношению к плоскостям проекций точки пересечения можно получить непосредственно на одной из проекций, и в первую очередь находят характерные (опорные ) точки искомой линии пересечения. К таким точкам можно отнести:

- точки, проекции которых лежат на проекциях контурных линий одной из поверхностей;

- на крайних рёбрах;

- точки, расположенные на главном меридиане, в экваторе шара или образующих, а также крайние точки - правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удалённые от плоскостей проекций.

Все остальные точки линии пересечения поверхностей называются промежуточными.

Конус с призматическим вырезом

Задача. Построить недостающие проекции конуса со сквозным призматическим вырезом и натуральную величину сечения проецирующей плоскостью (рис.23).

Рис.23

Анализ:

1. Призматический вырез задаётся тремя фронтально проецирующими плоскостями α, β и γ, которые попарно пересекаются по двум фронтально проецирующим прямым – рёбрам АВ и СD.

2. В результате пересечения плоскостей α, β и γ с поверхностью конуса получаются соответственно окружность, эллипс и гипербола.

3. Фигуры сечения симметричны относительно плоскости σ ║ П₂ и проходящей через ось вращения конуса. Поэтому на фронтальной проекции все точки плоских сечений двойные, кроме точек Р и Е на очерковой образующей.

Решение:

1. Фиксируем и обозначаем фронтальные проекции точек А и В, С и D, определяющих рёбра призматического паза, и строим их недостающие проекции (рис. 24,а).

2. Фиксируем и обозначаем опорные точки эллиптического сечения конуса.

3. Фиксируем и обозначаем фронтальные проекции опорных точек фигуры сечения конуса плоскостью α.

4. Фиксируем и обозначаем фронтальные проекции промежуточных точек 1 и 2 на гиперболическом сечении поверхности. Строим их недостающие проекции.

При окончательном оформлении чертежа следует помнить, что часть

конуса вырезана, в том числе и профильные очерковые образующие на отрезках QM и TN. Следовательно их профильные проекции должны быть проведены сплошной тонкой линией.

На рис. 24,а дано изображение натуральной величины сечения А-А конуса горизонтально проецирующей плоскостью. Заданная плоскость пересе -

кает поверхность конуса по гиперболе с вершиной в точке 3. С гранями призматического выреза плоскость пересекается по прямым 6-8, 8-7 и 7-М.

Точки 7 и 8 принадлежат соответственно рёбрам CD и АВ, точка 6 – горизонтальной грани призматического выреза.

Рис.24,а

На рис. 24,б показано построение натуральной величины сечения Б-Б конуса фронтально проецирующей плоскостью. Эллиптическое сечение поверхности определяется осями АВ и CD. Эллипс ограничен точками Е и F, расположенными на основании конуса. С гранями призматического выреза плоскость пересекается по прямым KL и MN .

Рис.24,б