5. Основные положения теоретической модели

Баллистическая идея измерения скорости пули, заключается в том что за время взаимодействия угловая скорость баллистического маятника изме­няется значительно, а его угловое перемещение незначительно и им можно пренебречь. Естественно, что это условие выполняется в том случае, если масса маятника намного больше массы пули.

Скорость пули определяется по измерению максимального угла откло­нения маятника после неупругого соударения с пулей. В этом случае физиче­ская ситуация может быть описана с помощью закона сохранения энергии и закона сохранения момента импульса.

Однако, любая теоретическая модель является лишь приближенным описанием физической ситуации, так как пренебрегает влиянием многих эф­фектов, имеющих место в эксперименте. В данной работе представлены две теоретические модели.

В первой теоретической модели считается, что удар пули о баллисти­ческий маятник является абсолютно упругим. Смещением центра масс отно­сительно оси в процессе соударения и, как следствие этого, упругими коле­баниями маятника, то есть перераспределением энергии между крутильными и упругими колебаниями, пренебрегаем. Крутильные колебания считаем не затухающими.

Вo второй модели учтен тот факт, что в процессе крутильных колеба­ний их энергия диссипирует как за счет неупругих деформаций внутри стру­ны подвеса маятника, так и за счет сопротивления воздуха.

6. Порядок выполнения работы

Первая теоретическая модель

Задание 1. Определение момента инерции баллистического маят­ника и коэффициента упругих сил кручения

1) Установите подвижные грузы на одинаковом расстоянии R_i от оси вращения. Отклонив баллистический маятник на угол φ~20°, измерьте период колебаний Т₁ как среднее за 10 колебаний. Повторите опыт несколько раз и вычислить среднее значение T₁.

2) Измените положение подвижных грузов (R₂, R₃) и повторите опыт (T₂, T₃).

3) Вычислите (см. приложение 1) коэффициент упругих сил кручения

(4)

и момент инерции баллистического маятника

(5)

4) Измените положение подвижных грузов ( ) и повторите пункты 2,3.

Задание 2*. Определение момента инерции баллистического маятника и коэффициента упругих сил кручения методом наименьших квад­ратов

1) Установите подвижные грузы на одинаковом расстоянии R_i от оси вращения. Отклонив баллистический маятник на угол φ~20°, измерьте пери­од колебаний Т_i как среднее за 10 колебаний. Изменяя расстояние от оси вращения до подвижных грузов R_i, повторите опыт 6-8 раз.

2) Согласно теории (приложение 1) значения T_i и R_i должны быть свя­заны между собой соотношением:

(6)

где I₀ и С - неизвестные момент инерции баллистического маятника и постоянная упругих сил кручения, М - масса подвижных грузов. Поэтому, если на координатную плоскость, по оси абсцисс которой откладываются значения X_i= , а по оси ординат значения переменной У_i= , нанести эксперимен­тальные точки, то они должны ложиться на прямую:

(7)

где , . Нанесите экспериментальные точки (X_i,Y_i) на координатную плоскость и убедитесь, что они ложатся на прямую.

3) Применяя к зависимости (7) метод наименьших квадратов (МНК), получим значение А и В для наилучшей прямой, соответствующей экспериментальным точкам:

(8)

Вычислите коэффициенты линейной регрессии А и В по формуле (8) и постройте на координатной плоскости наилучшую прямую. Использую найденные значения А и В вычислите значение момента инерции баллистического маятника и коэффициент упругих сил ,

4*) Вычислите значение ² по формуле:

где - погрешность измерений Y_i в i-том опыте. Так как Y_i= , то =2T_i , а относительная погрешность измерений в данной установке . Используя критерий Пирсона определите достоверность теоретической модели.

5*) Определите погрешности определения коэффициентов А и В, а также I₀ и С.

6*) Сравните полученные результаты с предыдущим заданием и сделайте выводы.

Задание 3. Определение скорости пули

1) Зарядите стреляющее устройство и, установив подвижные грузы на одинаковом расстоянии R (выбранном произвольно), произведите выстрел, измерив при этом максимальное отклонение баллистического маятника _max и расстояние от оси вращения до центра масс пули l. По формуле (см. прило­жение 2)

(10)

вычислите скорость пули, где I=I₀+2MR². Повторите опыт несколько раз и вычислите среднее значение скорости пули.

Вторая теоретическая модель*

Задание 1. Определение момента инерции баллистического маятника и коэффициента упругих сил кручения методом наименьших квад­ратов

1) Установите подвижные грузы на одинаковом расстоянии R_i от оси вращения. Отклонив баллистический маятник на угол φ~20°, измерьте период колебаний Т₁ как среднее за 10 колебаний, а среднее значение коэффициента затухания (2) и разброс его значений (3) как показано в методике работы с прибором. Изменяя расстояние от оси вращения до подвижных грузов R_i, повторите опыты 6-8 раз.

2) Согласно теории (приложение 1) значения Т_i, R_i и должны быть связаны между собой соотношением.

(11)

где I₀ и С – неизвестные момент инерции баллистического маятника и постоянная упругих сил кручения, М – масса подвижных грузов. Поэтому, если на координатную плоскость, по оси абсцисс которой откладываются значения Х_i= , а по оси ординат значения переменной , нанести экспериментальные точки, то они должны ложиться на прямую:

(12)

где А=I₀/C, B=2M/c. Нанесите экспериментальные точки (X_i,Y_i) на координатную плоскость и убедитесь, что они ложатся на прямую.

3) Применяя к зависимости (12) метод наименьших квадратов, получим значение А и В – (8) для наилучшей прямой, соответствующей экспериментальным точкам. Вычислите коэффициенты А и В линейной регрессии по формуле (8), постройте на координатной плоскости наилучшую прямую. используя найденные значения А и В, вычислите значения момента инерции баллистического маятника и коэффициент упругих сил С=2М/В, I₀=АС.

4) Вычислите значение Так как ,

то , (13)

погрешность измерений периода в данной установке , а погрешность измерений определялась в первом пункте. Используя критерий согласия Пирсона определите достоверность теоретической модели.

5*) Определите погрешность определения коэффициентов А и В, а также I₀ и С

6*) Сравните полученные значения с результатами, полученными для первой теоретической модели.

Задание 2*. Определение момента инерции баллистического маятника и коэффициента упругих сил кручения методом наименьших квадратов с весовыми коэффициентами.

1*) В предыдущем задании при вычислении коэффициентов не учитывалось на сколько значимы результаты при различных положениях грузов (приложение 1). Для точного определения Y от X (в конечном итоге более точного определения С и I₀) необходимо учитывать дисперсию Y₁ при каждом положении грузов Х₁. Задание отличается от предыдущего только способом расчета коэффициентов линейной регрессии А и В. поэтому выполните первые два пункта предыдущего задания.

2*) применяя к зависимости (12) метод наименьших квадратов с весовыми коэффициентами, получим значение А и В для наилучшей прямой, соответствующей экспериментальным точкам (приложение 1):

(14)

где , , а погрешность измерения определяется в первом пункте. Вычислите коэффициенты А и В линейной регрессии, постройте на координатной плоскости наилучшую прямую. Используя найденные значения А и В вычислите значения момента инерции баллистического маятника и коэффициент упругих сил С=2М/В, I₀=АС.

3***) Вычислите значение . Определите достоверность теоретической модели и сравните ее с первой моделью и результатами предыдущего варианта.

4***) Определите погрешность определения коэффициентов А и В, а также I₀ и С.

5***) Сравните полученные значения I₀ и С для первой и второй модели, а также для различных значений каждой из моделей.

Задание 3. Определение скорости пули

1*) Зарядите стреляющее устройство и, установив подвижные грузы на одинаковом расстоянии R, произведите выстрел, измерив при этом максимальное отклонение баллистического маятника и расстояние от оси вращения до центра масс пули l_i. Изменяя расстояние от оси вращения до центра грузов и период колебаний Т_i повторите опыт 5-10 раз.

2*) Согласно теории (приложение 2) при учете сил вязкого трения (сопротивления воздуха) и неупругих деформаций внутри струны подвеса маятника значения , l_i, V_i, R_i и должны быть связанны между собой соотношением:

(15)

где - момент инерции баллистического маятника с пулей; - расстояние от оси вращения центра масс пули; - максимальный угол в i-том опыте, Т_i- период колебаний маятника после удара пули, а - коэффициент затухания, соответствующие положению R_i, М- масса подвижных грузов.

Вычислите по формуле (15) значение скорости пули. Найдите ее среднее значение и среднеквадратичную погрешность:

(16)

где l – коэффициент Стьюдента для n измерений (при n=5, t=0.74; при n=10, t=0.70).