1. Определение полярных координат.

К роме декартовых коор­динат очень употребительны также полярные координаты на пло­скости. Они особенно удобны в тех вопросах, где мы имеем дело с вра­щением.

Для задания полярной системы координат выбирают на плоскости точ­ку Р, называемую полюсом, и полупря­мую РА, исходящую из этой точки, называемую полярной осью (черт. ). Кроме того, задается масштабная еди­ница для измерения расстояний точек плоскости от полюса. Полярным радиусом точки М называют отрезок, соединяющий полюс с этой точкой. Полярными координатами точки М являются угол , отсчитываемый от полярной оси РА про­тив часовой стрелки до полярного радиуса РМ точки М, и длина этого радиуса, измеренная в выбранной масштабной единице.

Иногда еще вводят правило знаков для координаты , а именно, точкой с данным углом и отрицательным считают точку М , симметричную относительно полюса с точкой М, имеющей то же и положительную длину |полярного радиуса.

2 . Формулы, связывающие полярные и прямоугольные коор­динаты. Очевидно, что если взять правую прямоугольную систему координат х, у, у которой начало О совпадает с полюсом Р рас­сматриваемой полярной системы координат, положительная полуось х идет по полярной оси и масштабная единица — та же самая, что и у заданной полярной системы (черт. 228), то имеют место следующие формулы пре­образования, связывающие эти декартовы и полярные координаты: х = cos , x = sin ,

= , = arctg

В полярных координатах (r; ) окружность радиуса R с цен­тром в полюсе изображается уравнением r = R.

В тех же координатах (r; ) окружность радиуса R с центром в точке (R; 0) имеет уравнение r = 2Rcos .

Иногда бывает удобно вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты х и у, рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих ко­ординат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, на­пример, в механике, где координаты х и у движущейся точки М(х; у) рассматриваются как функции времени {уравнения движения).

3. Примеры уравнений ли­ний в полярных координатах.

Рассмотрим два примера урав­нений линий в полярных коорди­натах.

Спираль Архимеда. Уравнение ее

=c

где с —некоторая константа. Эта линия есть спираль, являющаяся траекторией точки, равномерно удаляющейся от полюса Р по лучу, равномерно поворачивающемуся вокруг полюса—в положительном направлении если с>0, и в отрицательном, если с < 0. Внешний вид этой спирали, которую легко построить по точкам, изображен на черт. 229, где взято с>0. Если принять еще приведенное выше условие о знаке , то получается допол­нительная часть спирали, симметричная по отношению к полюсу P с изображенной на чертеже. Длина d отрезков между последовательными точками пересечения спирали с полярной осью и ее продолжением посто­янна и равна 2 с, если измеряется в радианах.

Гиперболическая с п и р а л ь. Уравнение ее

= k

где к — константа. Внешний вид этой спирали, которую легко построить по точкам, для положительных дан на рис (при этом предполагается что k > 0). Спираль Архимеда имеет бесконечно много витков вокруг по­люса Р, уходящих в бесконечность. Гиперболическая спираль, как нетрудно показать, при удалении в бесконечность асимптотически приближается к прямой, параллельной полярной оси и находящейся от нее на расстоянии, равном к. Зато гиперболическая спираль делает бесконечно много оборотов вокруг полюса Р, бесконечно к нему приближаясь.