Приложение 1. В

Отчет по лабораторной работе оформляется на листах формата А4. Первый лист - титульный. На нем указываются фамилия студента, номер группы, тема лабораторной работы, номер варианта и номера выполняемых задач.

Ниже приведен пример оформления содержательной части отчета по лабораторной работе 1.

Задача 1.1.0. Постановка задачи: дан ряд . Найти сумму ряда S аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда S = и найти величину погрешности при значениях значениях = , , , , . Построить гистограмму зависимости верных цифр результата от .

Аналитическое решение задачи:

S = =

,

. ОТВЕТ: S = = 44.

Теоретический материал. Пусть - точное значение, - приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина . Относительной погрешностью значения (при 0) называется величина . Так как значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида: . Величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Введем функцию S(N)= . Тогда абсолютную погрешность можно определить с помощью функции d(N) = .

Результаты вычислительного эксперимента:

S(10)=38.439560439 d(10)=5.56

S(100)=43.3009269 d(100)=0.699 2

S(1000)=43.9282153 d(1000)=0.072 3

S(10000)=43.992802 d(10000)=0.0072 4

S(100000)=43.9992802159957 d(100000)=0.00072 5

Вывод: Как видно из приведенного вычислительного эксперимента, увеличение числа членов ряда в 10 раз по сравнению с предыдущим случаем увеличивает число верных цифр в ответе на 1.

Задача 1.6. Постановка задачи: для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.

Теоретический материал. В ЭВМ для вещественных чисел используется двоичная система счисления и принята форма представления чисел с плавающей точкой , . Здесь - мантисса ; - двоичные цифры, причем всегда =1, p-целое число называемое двоичным порядком. Количество t цифр, которое отводится для записи мантиссы, называется разрядностью мантиссы. Диапазон представления чисел в ЭВМ ограничен конечной разрядностью мантиссы и значением числа p. Все представимые числа на ЭВМ удовлетворяют неравенствам: , где , . Все числа, по модулю большие , не представимы на ЭВМ и рассматриваются как машинная бесконечность. Все числа, по модулю меньшие , для ЭВМ не отличаются от нуля и рассматриваются как машинный нуль. Машинным эпсилон называется относительная точность ЭВМ, то есть граница относительной погрешности представления чисел в ЭВМ. Покажем, что . Пусть , тогда граница абсолютной погрешности представления этого числа равна . Поскольку , то величина относительной погрешности представления оценивается так:

.

Машинное эпсилон определяется разрядностью мантиссы и способом округления чисел, реализованным на конкретной ЭВМ.

Примем следующие способы определения приближенных значений параметров, требуемых в задаче:

1. Положим , где n - первое натуральное число, при котором происходит переполнение.

2. Положим , где m – первое натуральное число , при котором совпадает с нулем.

3. Положим , где k – наибольшее натуральное число, при котором сумма вычисленного значения 1+ еще больше 1. Фактически есть граница относительной погрешности представления числа .

Результаты вычислительного эксперимента:

Машинная бесконечность

Машинный нуль

Машинное эпсилон

Tексты программ:

ЛИТЕРАТУРА

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.