6. Физика атома и атомного ядра
Основные законы и формулы
1.Согласно первому постулату Бора, движение электрона вокруг ядра возможно только по определенным орбитам, радиусы которых удовлетворяют соотношению:
,
где
–
масса электрона;
– его скорость на k-й
орбите; r
– радиус этой орбиты; h
– постоянная Планка; k
– любое целое число (квантовое число).
2.По второму постулату Бора, частота излучения, соответствующая переходу электрона с одной орбиты на другую, определяется формулой:
,
где k
и n
– номера орбит (n>k),
и
– соответствующие им значения энергии
электрона.
3.Формула, позволяющая найти длины волн , соответствующие линиям спектра водорода, имеет вид:
,
где R
– постоянная Ридберга (
);
m
определяет серию (m=1,2,3….);
n
определяет отдельные линии, соответствующие
серии (n=m+1,m+2,…):
m=1
(серия Лаймана), m=2
(серия Бальмера), m=3
(серия Пашена) и т.д.
4.Атомное ядро состоит из нуклонов: протонов и нейтронов. Число нуклонов в ядре называется массовым числом А. Число протонов в ядре обозначается Z и оно равно порядковому номеру элемента в Периодической таблице Менделеева, а также заряду ядра, выраженному в единицах элементарного заряда (заряда электрона). Следовательно, число нейтронов в ядре N = A-Z.
Атомы одного и того же элемента могут иметь разное число нейтронов в ядре. Такие атомы называются изотопами данного элемента.
5.Масса ядра меньше массы нейтрального атома на массу электронов, входящих в состав электронной оболочки атома:
,
где – масса электрона.
6.Дефектом массы ядра называется разность между суммой свободных протонов и нейтронов и массой ядра:
,
где
–
масса свободного (вне ядра) протона;
– масса свободного нейтрона.
7.Энергия связи ядра определяется работой, которую необходимо совершить для того, чтобы разделить ядро атома на отдельные нуклоны и удалить их друг от друга за пределы действия ядерных сил, без сообщения им кинетической энергии. Энергия связи ядра в джоулях выражается соотношением:
,
где – дефект массы ядра в кг; с – скорость света в вакууме.
Если дефект массы ядра выражен в атомных единицах массы (а.е.м.), то энергию связи атомного ядра определяют по формуле:
,
где – дефект массы ядра в а.е.м. (см. приложения 9 и 10), а 931,4 МэВ/а.е.м. – энергетический эквивалент 1 а.е.м.(1 а.е.м. = 1,66 .10-27кг).
8.Основной закон радиоактивного распада:
,
где
– число атомов в начальный момент
времени; N
– число атомов, оставшихся по истечении
времени наблюдения t;
– постоянная распада.
9.Период полураспада Т связан с постоянной распада соотношением:
.
10.Среднее время
жизни
радиоактивного атома:
.
11.Активность элемента:
,
где
– начальная активность.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить энергию фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, а также длину электромагнитной волны, соответствующую этому фотону.
Решение. Переход электрона в атоме водорода с отдаленной орбиты на внутреннюю связан с излучением фотона (кванта энергии):
ε=h
(1)
где ε – энергия
фотона; h
– постоянная Планка; с
– скорость
света в вакууме;
частота и длина волны, соответствующие
фотону с энергией ε.
Длина волны излучаемого света связана с номером орбит соотношением
(2)
где R – постоянная Ридберга; m – номер энергетического уровня, на который переходит электрон; n – номер энергетического уровня, с которого уходит электрон.
Подставим в (2)
м-1,
n=1,
k=3
и вычислим длину волны
:
нм.
В выражение (1) подставим числовые значения величин с, и вычислим:
ε
Пример 2.
Определить дефект массы
и энергию
связи ядра атома бора
.
Решение. Дефект массы ядра представляет собой разность массы нуклонов (протонов и нейтронов), составляющих ядро, и массы ядра и определяется по формуле:
,
(1)
где Z
– число протонов в ядре;
–
масса протона; А
– массовое число (общее число нуклонов
в ядре); (А
–Z)
– число нейтронов в ядре;
–
масса нейтрона;
–
масса ядра.
Числа Z и А указываются при написании символа элемента: Z – слева снизу; А – слева вверху; в данном случае для бора Z=5, A=10.
Массу ядра найдем по формуле:
,
(2)
где
–
масса нейтрального атома;
–
масса электрона.
Чтобы не вычислять каждый раз массу ядра, преобразуем формулу (1) с учетом (2):
.
(3)
Из табл. 9 и 10
выпишем:
=1,00783
а.е.м.,
=1,00867
а.е.м.,
=10,01294
а.е.м.
Подставим числовые значения величин, входящих в (3), и вычислим дефект массы ядра бора:
=
+
– 10,01294 = 0,06956 (а.е.м.).
Энергия связи ядра – энергия, выделяющаяся при образовании ядра в виде электромагнитного излучения, – определяется по формуле:
,
(4)
где с – скорость света в вакууме.
Если энергию связи
выразить в мегаэлектрон–вольтах, дефект
массы
ядра – в атомных единицах массы, то
формула (4) примет вид:
=931,4· , (5)
где 931,4 – коэффициент, показывающий, какая энергия в мегаэлектрон-вольтах соответствует массе 1 а.е.м. Подставим значение в (5) и вычислим энергию связи:
=931,4 ∙ 0,06956=64,9 МэВ.
Пример 3. Вычислить энергию ядерной реакции:
.
Выделяется или поглощается эта энергия?
Решение. Энергию ядерной реакции определим по формуле:
=931,4 , (1)
где – изменение массы при реакции, т.е. разность между массой частиц, вступающих в реакцию, и массой частиц, образовавшихся в результате реакции:
.
(2)
здесь
–
масса атома кислорода;
-
масса атома дейтерия (изотопа водорода);
–
масса атома азота;
–
масса атома гелия.
По табл. 10 находим массы этих атомов и по формуле (2) вычисляем :
=(15,99491+2,01410) –2 (14,00307+4,00260)=0,00334 а.е.м.
Подставим числовое значение в (1) и вычислим энергию ядерной реакции:
ΔЕ = 931,4 0,00334 МэВ = 3,12 МэВ.
В результате ядерной реакции выделяется энергия, так как масса исходных ядер больше массы ядер, образовавшихся в результате реакции.
Пример 4. Навеска
почвы, в которую внесено удобрение с
радиоактивным фосфором
,
имеет активность
мкКи. Определить массу m
радиоактивного фосфора в навеске. Период
полураспада изотопа Т1/2=14,28
дня.
Решение. Массу радиоактивного изотопа можно определить из формулы:
N=(m/M)NA (1)
где N – число атомов (ядер); m/M – число молей; m – масса вещества; M – масса моля; NA – постоянная Авогадро.
Из формулы (1) определим:
m=NM/NA (2)
Число атомов (ядер) N связано с активностью вещества соотношением:
(3)
где постоянная распада, связанная с периодом полураспада зависимостью:
(4)
Подставим (4) в (3), а затем в (2), получим:
m=
(5)
Вычислим искомую массу радиоактивного препарата:
