§ 9.5. Закон Ома в дифференциальной форме

Рис. 9.

Преобразуем закон Ома (3) к такой форме, которая была бы удобна для описания токов в произвольной среде. Для этого рассмотрим какую-либо трубку и применим закон Ома к малому ее участку длиной l (рис. 9):

,

где j – плотность тока на этом участке, а  – его удельная проводимость. Или, по сокращении на S,

где  = – изменение потенциала в направлении j. Но скорость спадания потенциала вдоль какого-либо направления равна проекции вектора поля Е на это направление:

,

ибо поперечных составляющих поля нет. Таким образом,

j = E, (16)

где j,  и E – средние значения соответствующих величин внутри рассматриваемого объема трубки тока. Чем меньше этот объем, тем ближе они подходят к значениям в определенной точке проводящей среды. В пределе, при стягивании объема в точку, (16) переходит в локальное равенство, относящееся к этой точке. Если учесть, что величины j и Е суть векторы, причем, как следует из приведенных рассуждений, всегда одинаково направленные, то (16) можно записать в векторном виде, так что окончательно получим:

j = E (17)

Это равенство называется законом Ома в дифференциальной форме, хотя в него не входят производные, именно потому, что носит локальный характер, в противоположность интегральной форме (3) этого закона, связывающей величины, относящиеся к различным точкам проводящего пространства.

Из (17) следует, что в однородных средах ( = const) в областях, где ток течет под действием только электрических сил, линии тока совпадают с силовыми линиями электрического поля.

§ 9.6. Условие стационарности токов

Самое общее условие стационарности, или постоянства, токов было сформулировано нами в начале этой лекции (условие (1)). Оно сводится к требованию, чтобы в любой точке проводящей среды объемная плотность заряда не менялась со временем. Поскольку любые изменения (или постоянство) этой плотности связаны с неизбежным движением электрических зарядов, условие это накладывает некие общие ограничения на распределение текущих по проводнику постоянных токов.

Рис. 10.

Для выявления этих ограничений выделим внутри проводящей среды, несущей постоянный ток, произвольную замкнутую поверхность (рис. 10). Проходящий через эту поверхность полный ток (т. е. вытекающий изнутри) равен в соответствии с (9) потоку вектора j через нее. Но выходящий ток, по определению (2), есть «убыль» заряда, находящегося внутри S, в единицу времени, а из условия постоянства тока (1) этот заряд не может ни убывать, ни возрастать. Следовательно, общее условие стационарности токов может быть сформулировано следующим образом: поток вектора j через любую замкнутую поверхность равен нулю, т. е.

, (18)

где суммирование производится по всем элементам поверхности S.

Следствие 1. Поскольку густота линий j пропорциональна j, то поток этого вектора через любую поверхность (как и для линий Е) пропорционален (алгебраическому) числу линий, пересекающих эту поверхность. Поэтому из условия (18) следует, что линии тока не имеют истоков, т. е. они не могут ни начинаться, ни кончаться (если бы такие точки существовали, то, окружая их замкнутыми поверхностями, мы получали бы отличный от нуля поток через них, ибо входило бы и выходило разное число линий, что противоречит (18)). Значит, они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность двумя концами¹⁰.

Понятно, что на практике реализуется всегда лишь первая возможность.

Следствие 2. Внутри однородных проводников, несущих постоянные токи, объемные заряды не образуются. Действительно, подставляя в (18) вытекающее из закона Ома (17) соотношение

j_n = E_n

и вынося  = const за знак суммы, получим

.

Но по теореме Гаусса

,

где q – заряд внутри поверхности S. Стало быть, q = 0.

Полученный результат на первый взгляд может вызвать недоумение: то, что стационарность токов требует постоянства со временем объемной плотности зарядов в любой точке проводника – это понятно, но теперь мы доказали, что она (при  = const) должна быть равна нулю! Где же тогда располагаются заряды, создающие внутри проводника электрическое поле? Конечно же, они группируются не на зажимах источника, к которому подключен проводник: ведь внутри длинного однородного провода с током поле тоже однородно и заряды, расположенные на его концах, такое поле создать никак не могут (кулоновское поле убывает с расстоянием r от зарядов, как 1/ r²).

Рис. 11.

Заряды, возбуждающие поле в проводнике с током, размещаются на его поверхности (разумеется, неравномерно). Процесс этот довольно сложен и происходит очень быстро (со скоростью, близкой к скорости света). При этом одна половина провода (подсоединенная к положительному выводу источника) заряжается положительно, другая – отрицательно. Для установления такого распределения зарядам не нужно смещаться на расстояния, сравнимые с длиной проводника: чтобы в какой-то ее области образовался избыточный, например, отрицательный заряд (рис. 11), нужно, чтобы с одной стороны в нее вошло больше «минусов», чем вышло с другой. При подключении провода к источнику заряды, скопившиеся, скажем, у его отрицательного полюса, «толкают» свободные одноименные носители близлежащего участка проводника, те «толкают» следующие и т. д. В итоге они лишь чуть-чуть смещаются (все по-разному), сообщая избыточный заряд каждому участку проводника, и затем (или одновременно) уходят на его поверхность, образуя необходимую поверхностную плотность для создания внутри однородного поля. Переходный процесс быстро заканчивается, и в дальнейшем устанавливается стационарное течение зарядов, образующих постоянный ток.

А если ток течет по проводнику сложной формы, в котором линии тока не параллельны? Может ли в произвольном случае необходимое поле быть образовано лишь поверхностными зарядами? Да, и мы в состоянии утверждать это не только на основании доказанного следствия 2. Чтобы поверхностным зарядам создать внутри проводника произвольное поле Е, нужно просто поместить его в это статическое поле (точнее, в противоположное ему). Тогда поверхностный заряд проводника «занулит» внутри это внешнее поле – Е, т. е. образует как раз требуемое поле Е.