§4.3. Умножение матриц.

4.3.1. Определение. Произведением матрицы размеров на матрицу размеров называется матрица размеров , элементы которой определяются следующим образом:

Замечание 1.

Для того, чтобы операция умножения двух матриц была определена, необходимо, чтобы количество столбцов первой матрицы было равно количеству строк второй матрицы. Оба произведения матриц и будут определены при условии, что число строк матрицы равно числу столбцов матрицы , а число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , при этом обе матрицы и будут квадратными, но разного порядка. Для того, чтобы обе матрицы и были определены и были одного порядка, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы и были квадратными и одинакового размера.

Замечание 2.

Таким образом, элемент произведения двух матриц, расположенный на пересечении строки и столбца , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов строки первой матрицы и столбца второй матрицы.

4.3.2. Теорема. (Свойства операции умножения матриц)

Справедливы следующие свойства операции и умножения матриц:

Доказательство:

Пусть размерности матриц и таковы, что операции умножения в сформулированных свойствах определены.

1. Обозначим Пусть размеры матриц и , а размеры матрицы − . Тогда в соответствии с определением умножения матриц 4.4.1 размеры матриц и равны . Теперь сравним значения элементов матриц и :

Таким образом, размеры матриц и одинаковы, а их соответствующие элементы равны, следовательно, матрицы и равны по определению 4.1.2.

2. По аналогии с первым свойством введем в рассмотрение матрицы Пусть размеры матрицы , а размеры матриц и − . Тогда размеры матриц и , а элементы

равны между собой, что и доказывает свойство.

3. Пусть размеры матрицы − , размеры − , а размеры матрицы − . Тогда, очевидно, размеры матриц и − . Сравним элементы матриц и :

4. Пусть размеры матрицы − , а − , тогда размеры произведения − . Размеры транспонированных матриц: − , − , − , − . Таким образом, размеры матриц и совпадают, и нам остается показать, что их соответственные элементы равны.

Замечание.

Операция умножения матриц, вообще говоря, не является коммутативной. Если рассмотреть, например, матрицы

и , то будем иметь

Легко видеть, что . Однако существуют некоторые специальные виды матриц, для которых результат умножения не зависит от его порядка.

4.3.3. Теорема. (Об умножении квадратной матрицы на единичную матрицу)

Умножение всякой квадратной матрицы на единичную матрицу того же размера слева или справа не меняет исходную матрицу.

Доказательство:

Рассмотрим квадратную матрицу размера Обозначим

где − единичная матрица размера Тогда

Следовательно, , что и требовалось доказать.

4.3.4. Теорема. (Об умножении квадратной матрицы на скалярную матрицу)

Пусть − квадратная матрица размера а − скалярная матрица того же размера. Тогда

Доказательство:

Из определения скалярной матрицы вытекает, что она может быть представлена в виде произведения некоторого числа на единичную матрицу, т.е. Следовательно, согласно предыдущей теореме 4.4.3

что и доказывает теорему.

4.3.5. Теорема. (Об умножении диагональных матриц)

Пусть − диагональные квадратные матриця размера тогда

Доказательство:

Обозначим Покажем, что эти матрицы равны:

что и требовалось доказать.

4.3.6. Теорема. (Об определителе произведения квадратных матриц)

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

Без доказательства.

Лекция 11.