1.9. Нормальное уравнение прямой

Пусть – фиксированная точка плоскости, – вектор, заданный своими направляющими косинусами, тогда уравнение вида задает прямую на плоскости, проходящую через точку перпендикулярно вектору , который называется нормальным вектором этой прямой. Запишем скалярное произведение вектора и вектора в координатной форме:

(8)

Теперь, введя обозначение получим нормальное уравнение прямой:

(9)

Рис. 3

где – угол наклона перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую, к оси Ох; – угол наклона этого перпендикуляра к оси Оу (рис. 3). Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 может быть приведено к нормальному виду при умножении его на нормирующий множитель

взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена.

1.10. Полярные параметры прямой

Полярными параметрами можно задать положение всякой прямой на плоскости.

Рис. 4

Полярным расстоянием прямой (рис. 4) называется длина p перпендикуляра ОК, опущенного на прямую из начала координат О. Полярное расстояние может быть положительным или равным нулю ( ). Полярным углом прямой называется угол между положительным направлением

оси Ох и перпендикуляром, опущенным на прямую из начала координат. Полярное расстояние и полярный угол называются полярными параметрами прямой. При этом нормальное уравнение прямой можно записать в виде:

(10)

2. Прямые на плоскости: взаимное расположение

Утверждение 2. Пусть на плоскости заданы две прямые: и В этом случае выполняется одно и только одно из трех условий:

1) прямые не имеют общих точек при этом система линейных алгебраических уравнений несовместна (имеет пустое множество решений);

2) прямые имеют единственную общую точку при этом система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение которое может быть найдено, например, по формулам Крамера:

(11)

(12)

3) прямые совпадают при этом система линейных алгебраических уравнений не определена (имеет бесконечно много решений).

2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой

Три точки , , лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель

.

(13)

Равенство нулю определителя (13) означает, что площадь «треугольника» равна нулю.

2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек

Пусть заданы точки и общее уравнение некоторой прямой: Ax + By + C = 0. Вычислим значения величин и по формулам:

(14)

(15)

Взаимное расположение точек и относительно заданной прямой можно определить по следующим признакам:

1) числа и имеют одинаковые знаки, в этом случае точки и лежат по одну сторону от прямой;

2) числа и имеют противоположные знаки, в этом случае точки и лежат по разные стороны от прямой;

3) одно из чисел , равно нулю (или оба равны нулю), в этом случае точка или соответственно (или обе) принадлежит прямой.