3.3. Передатні функції і операції з ними

Розглянемо лінійну динамічну систему з постійними параметрами, тобто параметрами, не залежними ні від часу, ні від стану системи.

Нехай динамічна система описується диференціальним рівнянням

(3.1)

в припущенні, що у=у(t) — вихідна змінна, u=u(t) — вхідна змінна, u(t)≡0 при t<0 і що система при t=0 знаходилася в нульових початкових умовах а_i=const, , b_j=const, .

Перетворимо останнє рівняння по Лапласу, враховуючи нульові початкові умови і властивості перетворення Лапласа

або

,

де — зображення вихідний змінної (сигналу), — зображення вхідної змінної (сигналу).

Передатна функція системи W(s) визначається як відношення зображень по Лапласу вихідного U(s) і вихідного Y(s) сигналів за нульових початкових умов

,

де — зображення по Лапласу від функції , — зображення по Лапласу від функції .

Передатна функція W(s) характеризує динамічні властивості системи, це функція не залежить від дії, прикладеної до системи, а залежить тільки від параметрів системи.

Представимо початкове диференціальне рівняння (3.1) в операторній формі

(3.2)

або

,

де — оператор диференціювання, а A(p) і B(p) - поліноми:

Аналізуючи рівняння (3.1) і (3.2), неважко встановити, що за нульових початкових умов комплексна змінна s може бути ототожнена з оператором диференціювання p. Тоді чисто формально передатна функція може бути отримана як відношення двох поліномів відносно оператора диференціювання

.

Далі використовуватимемо позначення p, вважаючи по контексту за цим позначенням або оператора диференціювання, або комплексну змінну.

З визначення передатної функції виходить, що

, (3.3)

тобто знаючи передатну функцію W(p) і визначивши зображення U(p) дії u(t) на систему, можна знайти зображення Y(p) реакції системи. Тоді, здійснивши перехід від зображення Y(p) до оригіналу y(t), можна отримати опис процесу зміни вихідної координати системи при поданні вхідної дії u(t).

Якщо початкові умови ненульові, то замість рівняння (3.3) отримаємо рівняння

,

де V_p(p) — складова, така, що враховує ненульові початкові умови.

Приклад. Нехай динамічна система описується диференціальним рівнянням

з початковими умовами у(0)=2, у'(0)=-3.

Тоді, враховуючи властивості перетворення Лапласа, можна записати

, , , .

Тоді зображення початкового рівняння набуває вигляду

або

,

.

Таким чином, в даному випадку

, .

Введення передатних функцій дозволяє вирішувати багато завдань аналізу і синтезу динамічних систем операторними методами.

Основною перевагою передатних функцій є можливість досить легко і просто описати систему, коли відомі передатні функції підсистем (елементів) і схеми з'єднання підсистем один з одним.

Відомо, що існує три види типових з'єднань підсистем один з одним - послідовне (рис. 3.1а), паралельне (рис. 3.2b) і з’єднання із зворотним зв'язком (рис. 3.2с). Виникають значні труднощі при визначенні математичної моделі усього з'єднання, коли математичні моделі підсистем задані в диференціальній формі.

Рис. 3.2. Типові з'єднання

При використанні моделей у формі передатних функцій ця процедура значно полегшується і формалізується. Так, для послідовного з'єднання видно, що з урахуванням визначення передатних функцій виходить

, .

Тоді

, .

Звідси

,

Таким чином, послідовному з'єднанню підсистем відповідає множення передатних функцій.

Міркуючи аналогічно, можна отримати, що паралельному з'єднанню підсистем відповідає додавання передатних функцій, тобто

,

зустрічно-паралельному з'єднанню відповідає співвідношення

для випадку E=X+Z, і співвідношення

для випадку E=X-Z.

Проведення арифметичних операцій над дробово-раціональними поліномами (передатними функціями) значно простіше, ніж отримання аналогічного по суті результату при використанні диференціальних рівнянь підсистем.