3.11.11. Газовые законы

Если температура газа остается постоянной (изотермический процесс), то зависимость между давлением Р и объемом V по закону Бойля-Мариотта выражают формулой

Если процесс адиабатический (температура понижается при уменьшении объема и повышается при его увеличении), то объем и давление связаны законом Пуассона:

где γ – постоянная для данного газа величина, обычно больше единицы (так для воздуха γ = 1,4).

а ) Задача. В цилиндрическом сосуде с радиусом основания R и высотой Н заключен атмосферный воздух. Какую работу необходимо затратить, чтобы вдвинуть поршень на h – единиц длины? Процесс протекает изотермически.

Решение. На рисунке AD = H. Зафиксировано произвольное х; АВ = х ВD = H – x.

Дано приращение Δх. Давление на единицу поршня

А давление на весь поршень равно

Работа, необходимая для сжатия воздуха на величину dx равна

тогда

Константу С можно определить из условия

Р₀ = 1, 033 кг/см². Отсюда С = 1,033πR²H и работа равна:

т.е. чем глубже вдвигается поршень в цилиндр, тем большую требуется совершить работу.

б ) Задача. В цилиндрическом сосуде, с поперечным сечением S заключен воздух при атмосферном давлении

Р₀ = 1,033 кг/см² или Р_о = 10330 кг/м².

Какую работу необходимо затратить воздухом в цилиндре чтобы передвинуть поршень из начального положения (точка А) до высоты цилиндра b, если поместить его в пустоту?

Решение. Если поместить цилиндр в пустоту, объем начнет увеличиваться. Пусть при атмосферном давлении начальное положение поршня находится на расстоянии ОА = α = х (Рис. 3.11б.11).

Вычислим работу, которую необходимо затратить на перемещение поршня из точки A в точку В на расстояние dx. По закону Бойля-Мариотта

Давление на единицу площади Давление на весь поршень тогда

тогда С = 1,033·Sα. Следовательно

Подсчитаем величину работы при частных данных:

S = 100 см²; α = 0,1 м; b = 0,2м.

3.11.12. Электростатика

Решение задач, связанных с электростатикой опирается на закон Кулона о силе взаимодействия двух электрических зарядов. Пусть ℓ₁ и ℓ₂ – величина зарядов в электростатических единицах, r – расстояние в сантиметрах между ними, ε – диэлектрическая постоянная.

Тогда

З адача. Два электрических заряда ℓ₁ и ℓ₂ находятся на расстоянии r₀ друг от друга. Разделяющей их средой служит воздух (ε = 1). Сначала оба заряда закреплены неподвижно, затем заряд ℓ₂ освобождается. Под действием силы отталкивания заряд ℓ₂ начинает перемещаться, удаляясь от заряда ℓ₁. Какую работу совершит сила отталкивания, когда заряд удалится на расстояние r и бесконечность?

Решение. Поместим заряд ℓ₁ в начало координат, а заряд ℓ₂ на расстояние r₀ от него (Рис. 3.11б.12). ОВ = r₀ фиксируем произвольное х = ОС. Дадим приращение dx, т.е. заряд ℓ₂ переместился на путь dx. По закону Кулона (в воздухе). Главное приращение величины работы равно

отсюда

Если r → ∞, то

З адача. Два электрических заряда ℓ₁ и ℓ₂ электростатических единиц находятся на расстоянии r₀ друг от друга. Каково будет расстояние между зарядами, если приблизив второй заряд к первому затратим работу А₁ Дж?

Решение. Пусть заряд ℓ₁ находится в начале координат (Рис. 3.11б.13).

ОВ = r₀; ОС = х.

Пусть заряд переместился на величину dx. Тогда

По закону Кулона получим

По условию задачи совершенная работа равна A₁ – получим уравнение

отсюда решая относительно х, получим