7.1.11. Вычисление вычетов
Правильные или
устранимые особые точки.
Очевидно, что если
есть правильная или устранимая особая
точка функции
,
то res
(в разложении Лорана в этих случаях
отсутствует главная часть, поэтому
).
Полюс. Пусть точка является простым полюсом функции . Тогда ряд Лорана для функции в окрестности точки имеет вид
.
Отсюда
.
Поэтому, переходя
в этом равенстве к пределу при
,
получаем
res
. (7.1.16)
Замечание. Формуле (7.1.16) для вычисления вычета функции в простом полюсе можно придать другой вид, если функция является частным двух функций, аналитических в окрестностях точки .
Пусть
,
где
,
а g(z)
имеет простой нуль при
(т.е.
).
Тогда, применяя формулу (7.1.16), имеем:
res
,
т.е.
res
.
Пусть точка является полюсом m-го (m 1) порядка для функции . Тогда лорановское разложение функции в окрестности точки имеет вид:
.
Отсюда
.
Дифференцируя последнее равенство (m–1) раз, получим
Переходя здесь к пределу при , получим
res
.
Если – полюс 1-го порядка для функции , то
res
.
Существенно особая
точка. Если точка
– существенно особая точка функции
,
то для вычисления вычета функции в этой
точке обычно непосредственно определяют
коэффициент
в разложении функции в ряд Лорана.
Пример 8. Найти
вычет функции
относительно точки z
= 2.
Решение. Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:
res(
)
ЛЕКЦИЯ 7.2. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ: МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ, ЛИНЕЙНЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТАНСТВА; ПОЛНОТА И ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ; ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТБРАЖЕНИЙ; ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Основой возникновения функционального анализа послужил процесс обобщения основных понятий и методов математического анализа и смежных с ним областей алгебры и геометрии на объекты более сложной природы. Рассмотрение различных задач классической математики с более абстрактной точки зрения позволяет лучше выяснить то общее, что присуще задачам, сходным по методам их решения, но различным по конкретному содержанию. Функциональный анализ является аксиоматической системой.
При аксиоматическом методе исследования мы отвлекаемся от конкретной природы изучаемых объектов. Основой (отправной точкой аксиоматической системы) служит система аксиом, определяющих существенные свойства изучаемых объектов. При таком построении теории все полученные результаты будут справедливыми для объектов, удовлетворяющей исходной системе аксиом, кроме того, доказательства, которые используют только существенные свойства изучаемых объектов, оказываются нередко короче и точнее вскрывают суть дела. Очевидно, что способ определения изучаемых объектов аксиомами осуществляется методом исследования. В функциональном анализе применяется аналитический метод исследования.
Основная задача математического анализа – всестороннее изучение функциональной зависимости. Для ее решения с помощью теории Дедекинда строится множество вещественных чисел и вводится понятие предела. Главным содержанием функционального анализа является теория операторов, представляющая обобщение понятия функции на объекты более сложной природы. Для построения теории операторов определяется абстрактное пространство и обобщается понятие предела.
Мы будем изучать некоторые множества объектов любой природы, для элементов которых каким-либо способом определены операции, обладающие определенными свойствами, подобные операциям и их свойствам над геометрическими векторами. Далее выясним свойства отображений пространств на пространство (операторы) и пространства на числовую ось (функционалы).
Как самостоятельная ветвь математики, функциональный анализ сложился в конце 18 – начале 19 в. Первые работы по функциональному анализу принадлежат итальянскому математику Вольтера, французскому математику Пуанкаре и немецкому математику Гильберту. Метрические пространства введены в науку французским математиком Фреше в начале 20 в., нормированные пространства – в 1922 г. польским математиком Банахом и независимо от него американским математиком Винером.
В математическом анализе, как известно, одним из самых важных понятий было понятие предельного перехода. То же относится и к функциональному анализу.