Задача №5

Задание. На отрезке методом золотого сечения найти

точку минимума функции с точностью .

Решение. Метод золотого сечения известен как метод поиска экстремума в решении задач оптимизации. В основе метода лежит принцип деления в пропорциях золотого сечения. Золотым называется такое деление отрезка точкой на две неравные части, при котором отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка. Для определения искомых точек необходимо составить уравнения:

, если -большая часть отрезка, и , если - большая часть отрезка. Отсюда мы получим две точки золотого сечения:

левая точка (*)

правая точка. (**)

При этом само соотношение, золотая пропорция,

Приведем схему золотого сечения. Пусть - требуемая точность вычисления точки минимума.

0. Начальный шаг. Находим точки и по формулам (*) и (**).

1. Вычисляем , :

если , то переходим к шагу 4;

если , то переходим к шагу 3;

если , то переходим к шагу 2.

2. Получаем новый отрезок , , . Находим ; если , то , и , в противном случае переход к 0.

3. Получаем новый отрезок , , . Находим ; если , то , и , в противном случае , находим по формуле (*) и переход к 1.

4. Получаем новый отрезок , , . Находим ; если , то , и , в противном случае , находим по формуле (**) и переход к 1.

Вернемся к решению нашей задачи.

1. Имеем отрезок . Вычисляем на нем по правилам (*) и (**) точки и : и .

2. Вычисляем и : , .

3. Так как , то имеем новый отрезок поиска:

. Проверяем на остановку: .

4. На новом отрезке нам уже известна одна точка золотого сечения . Находим .

5. Вычисляем и : , .

6. Сравнивая значения и , имеем, что , следовательно, приходим к новому отрезку . На нем имеем точку золотого сечения , .

7. Находим новые точки на отрезке ,

8. Вычисляем , . Известно, что и поэтому заключаем, что новый отрезок поиска .

9. На новом отрезке ,

10. Находим , . Сравниваем: . Заключаем, что новый отрезок ;

11. На новом отрезке ,

12. Находим , . Так как , новый отрезок поиска , . Вычисления закончены , .

Задача №6

Задание. 1) Вычислить интеграл по формуле левых и правых прямоугольников при .

2) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

3) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при ; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.

1) ; 2) ;

3) .

Решение. 1) Для вычислений по формулам левых и правых прямоугольников при разобъем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом . Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1.5 1.58 1.66 1.74 1.82 1.90 1.98 2.06 2.14 2.22 2.30	0.3165 0.3037 0.2922 0.2815 0.2716 0.2626 0.2541 0.2463 0.2390 0.2322 0.2259

Находим значения сумм: ; . Получим приближенное значение интеграла. По формуле левых прямоугольников

По формуле правых прямоугольников

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. Более точное значение можно получить, определив полусумму

2) Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение так, чтобы

(*)

Здесь ; ; , где .

Находим , ;

.

Положим , тогда неравенство (*) примет вид , откуда , т.е. ; возьмем .

Вычисление интеграла проводим по формуле

,

где ; ; .

Все вычисления приведены в таблице:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	0.7 0.73 0.76 0.79 0.82 0.85 0.88 0.91 0.94 0.97 1.00 1.03 1.06 1.09 1.12 1.15 1.18 1.21 1.24 1.27 1.30	0.88386 0.85572 0.82898 0.80366 0.77973 0.75700 0.73546 0.71501 0.69551 0.67700 0.65937 0.64259 0.62657 0.61140 0.59669 0.58272 0.56935 0.55658 0.54431 0.53253 0.52129

Таким образом,

.

3) Согласно условию , поэтому .

Расчетная формула имеет вид

где , .

Вычисления значения функции запишем в таблице:

0 1 2 3 4 5 6 7 8	1.2 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60	0.1211 0.1520 0.1782 0.2000 0.2176 0.2312 0.2410 0.2473 0.02503

Следовательно,

.

Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка

0 1 2 3 4 5 6 7 8	0.1211 0.1520 0.1782 0.2000 0.2176 0.2312 0.2410 0.2473 0.2503	0.0309 0.0262 0.0218 0.0176 0.0136 0.0098 0.0063 0.0030	-0.0047 -0.0044 -0.0042 -0.0040 -0.0038 -0.0035 -0.0033	0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0002	-0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 -0.0001

Так как , то остаточный член формулы

Погрешность вычислений можно оценить из соотношения

.

Значит, полученные четыре десятичных знака верны.