Прямая и плоскость

В этой теме решаются смешанные задачи геометрии в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Если обозначить угол между прямой и плоскостью , а угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой , очевидно, имеет место связь .

Имея уравнение плоскости и прямой , получаем , откуда следует формула для угла между прямой и плоскостью

.

Отсюда следует условие параллельности прямой и плоскости

,

и условие их перпендикулярности

.

Пересечение прямой с плоскостью

Для решения этой задачи можно использовать общие уравнения прямой

и плоскости , тогда задача сводится к решению системы трех уравнений

.

Можно решить задачу проще, задав прямую параметрически. Имеем

и . Подставляем из уравнения прямой в уравнение плоскости и получаем одно уравнение относительно параметра . Это уравнение может иметь единственное решение, тогда подставляя в уравнение прямой найденное значение параметра, определяем точку пересечения. Уравнение может не иметь решения, тогда прямая параллельна плоскости, наконец, уравнение может иметь бесчисленное множество решений, тогда прямая лежит в плоскости.

Примеры.

1. Определить общие точки прямой и плоскости

а) , .

Приведем уравнение прямой к параметрическому виду

откуда следует . Подставляем эти соотношения в уравнение плоскости . Тогда , , и точка пересечения имеет координаты .

Ответ .

в) , .

Решение. , откуда следует

или . Уравнение не имеет решения. Проверим условие параллельности прямой с плоскостью .

Действительно, прямая параллельна плоскости, следовательно, не имеет с ней общих точек.

с) ,    .

Решение.

,

откуда следует , и уравнение имеет решение при любых . Прямая лежит в плоскости.

2. Определить угол между прямыми. Пусть прямые заданы следующими уравнениями , . Направляющий вектор второй прямой . Направляющий вектор первой прямой определим следующим образом. Нормальные векторы обеих плоскостей, определяющих прямую, ортогональны своим плоскостям. Направляющий вектор прямой лежит как в одной, так и в другой плоскости, следовательно, он ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Очевидно, его можно определить как векторное произведение нормальных векторов, то есть

,

или , поскольку длина направляющего вектора в этом случае несущественна.

Угол между прямыми определяется по формуле

.

Примеры для самоподготовки.

1. Через точу провести прямую, перпендикулярную плоскости .

2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

3. Записать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

Поверхности второго порядка

В данном параграфе приводятся канонические уравнения наиболее часто встречающихся поверхностей.

Сфера

Общее уравнение сферы радиуса с центром в точке имеет вид .

Каноническое уравнение .

Рисунок 20.

Эллипсоид

Его каноническое уравнение .

Рисунок 21.

Цилиндр

Круговой цилиндр с образующими, параллельными оси , соответствует уравнению . Если направляющей цилиндра является эллипс, его уравнение .

Рисунок 22.

Цилиндр с образующими, параллельными оси , имеет уравнение , цилиндр с осью вращения соответствует уравнению .

Конус

Каноническое уравнение кругового конуса с осью вращения имеет вид . Когда направляющей конуса является эллипс, его уравнение .

Рисунок 23.

Если центральная ось конуса – ось , его уравнение , если , то .

Параболоиды

Каноническое уравнение кругового параболоида с осью симметрии имеет вид , эллиптический параболоид .

Рисунок 24.

Аналогично записываются уравнения параболоидов с осями и .

Уравнения гиперболических параболоидов следующие , а также и

Рисунок 25.

Гиперболоиды

Однополостный

Уравнение кругового гиперболоида с осью симметрии имеет вид , эллиптического

Рисунок 26.

Однополостный гиперболоид имеет центральную ось , гиперболоид имеет центральную ось .

Двухполостные гиперболоиды имеют уравнения , , .

Рисунок 27.