Задача о выборке

N- всего элементов n- число элементов первого сорта

m- общее число выбранных элементов k- число выбранных элементов первого сорта

Вероятность того, что из m выбранных элементов ровно k элементов первого сорта , ;

1. В ящике 5 белых и 7 черных шаров. Из ящика вынимают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них : а) ровно 2 белых ; б) нет белых в) хотя бы один белый шар.

2. В коллекции 8 монет, 4 из которых старинные. Наудачу выбираются 3 монеты. Какова вероятность того , что среди них а) 2 старинные; б) все старинные; в) не менее двух старинных монет .

3. В группе 7 девушек и 10 юношей. Для тестирования случайным образом выбирают 5 студентов. Найти вероятность того, что для тестирования выбраны : а) три девушки; б) хотя бы три девушки.

4. Студент выучил 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что из 3 предложенных вопросов он знает: а) все три б) хотя бы один в) не менее двух.

5. В коробке 12 деталей. Из них 6 – стандартные, 4 – отличного качества, остальные –бракованные. Какова вероятность того, что среди семи отобранных деталей а) одна отличного качества и пять стандартных; б) только годные детали.

6. Четырем игрокам раздали поровну 36 карт. Полагая все наборы карт равновероятными, найти вероятности: а) у первого игрока нет ни тузов, ни королей

б) все тузы у одного из игроков в) у первого игрока есть хотя бы 1 туз г) первый и второй игроки не получили тузов д)(±) все тузы у первого игрока, а все короли- у второго

Формула Бернулли

Производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р.

Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз

Если число испытаний n велико, а вероятность появления одного события р мала, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, можно вычислять по формуле Пуассона

1. В ящике 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в ящик перед извлечением следующего и шары в ящике перемешивают. Какова вероятность того, что из 4 вынутых шаров окажется ровно 2 белых?

2. Производится 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0.75 . Найти вероятность того, что за 3 выстрела будет : а) 2 попадания; б) менее двух попаданий; в) хотя бы одно попадание.

3. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 2 партии из 4 или 3 из 6 (ничьи не учитываются)?

4. Найти вероятность того, что при бросании восьми костей «1» выпадет: а) ровно 1 раз б) ровно 4 раза в) по крайней мере 1 раз

5. Станок производит в среднем 1% брака. Найти вероятность того, что среди 300 наудачу выбранных деталей: а) 5 бракованных; б) не менее трех бракованных; в) 298 годных

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂, … , Н_n, образующих полную группу событий ( то есть P(H₁)+P(H₂)+…+ P(H_n)=1) равна

1. (№89) В ящик, содержащий 2 шара, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров по цвету.

2. (№32) Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0.1, а в ненормальном – 0.7 . Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

3. Приборы одного наименования изготавливаются тремя заводами. Первый завод поставляет 2/3 всех приборов, второй и третий- одинаковое количество оставшихся. Надежность прибора, выпускаемого первым заводом, равна 0.7 , вторым – 0.6 , третьим – 0.8 . Найти полную надежность прибора.

4. В двух ящиках имеется по 15 деталей, из которых по 3 бракованных, в третьем 20 деталей, из которых 2 бракованных. Какова вероятность взять бракованную деталь из наудачу выбранного ящика?

5. В ящике хранятся детали, изготовленные на трех станках. Производительности станков относятся как 3:3:4. При этом первый станок производит 10% бракованных деталей, а второй и третий по 15% бракованных деталей. Какова вероятность наудачу достать бракованную деталь из ящика?

6. Имеются 2 ящика: в первом 4 белых и 6 черных шаров, а во втором 7 белых и 5 черных. Из первого ящика во второй перекладывают, не глядя, 1 шар. После этого из второго ящика достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.