§ 7. Понятие линейного пространства

(продолжение)

4. Координаты вектора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе.

НАПРИМЕР.

1) Матрица имеет в стандартном базисе , , , пространства ℝ координаты . Действительно,

,

.

2) -мерный вектор имеет в стандартном базисе пространства ℝ координаты

3) Многочлен имеет в базисе , , , пространства ℝ координаты

В линейном пространстве свободных векторов координаты вектора в декартовом прямоугольном базисе имеют простой геометрический смысл. Чтобы указать его, необходимо дать несколько определений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.

П усть имеется некоторая ось и вектор . Обозначим через и ортогональные проекции на ось точек и соответственно. Вектор назовем векторной проекцией вектора на ось .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией (ортогональной проекцией) вектора на ось называется длина его векторной проекции на эту ось, взятая со знаком плюс, если вектор и ось сонаправлены, и со знаком минус – если вектор и ось противоположно направлены.

Проекцию вектора на ось обозначают: , .

Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 7. Координаты вектора в декартовом прямоугольном базисе , ( , , ) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Проведем доказательство для вектора . Для вектора пространства оно будет аналогичным.

П остроим вектор (вектор, с началом в точке и концом в точке , называется радиус-вектором точки ). Обозначим через и ортогональные проекции точки на ось и соответственно. Тогда

.

Так как – вектор единичной длины, то . Знак зависит от направления вектора : если ⇈ , то , если ⇅ , то (см. определение произведения вектора на число). Но согласно определению проекции вектора на ось, это означает, что – проекция вектора на ось, сонаправленную с вектором , т.е. на ось . Аналогично показывается, что .

Координаты вектора – очень важная характеристика вектора любого линейного пространства. Знание координат векторов позволяет легко выполнять с ними линейные операции, так как справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8. 1) Если вектор имеет в базисе , , , координаты , а вектор имеет в том же базисе координаты , то вектор будет иметь в базисе , , , координаты .

2) Если вектор имеет в базисе , , , координаты , то для любого числа ℝ вектор будет иметь в том же базисе координаты .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По условию , .

Тогда

и .

Из теоремы 8 вытекает справедливость следующего утверждения.

ТЕОРЕМА 9 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме). Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты –пропорциональны, т.е.

.

Причем, если коэффициент пропорциональности , то векторы и – сонаправлены, а если – то противоположно направлены

Координаты вектора определены в данном базисе единственным образом. Но в другом базисе вектор будет иметь другие координаты. Связь между координатами вектора в разных базисах дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 9. Пусть , , , и , , , два базиса линейного пространства . Причем имеют место равенства:

Если вектор имеет в базисе , , , координаты , а в базисе , , , – координаты , то справедливо равенство ,

где , , (матрицу называют матрицей перехода от базиса , , , к базису , , , ).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По условию .

Расписывая векторы , , , по базису , , , , получим:

.

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

(1)

Так как по условию , то из (1) получаем:

или в матричном виде .