2 Передаточные функции звеньев и сау. Структурная схема

Уравнения элементов системы имеет вид:

Электромагнитный усилитель:

Из уравнения элемента

T_у + U(t) = k_у ∆U(t),

∆U(t) = U_з(t) – U_Т(t),

получаем передаточную функцию

Электродвигатель:

получим передаточную функцию

Редуктор:

передаточная функция

Задающий и принимающий потенциометры:

,

,

Передаточные функции

Структурная схема будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 3 – Структурная схема

Проведем преобразования структурной схемы. Перенесем элемент сравнения с правой стороны задающего потенциометра (Пз) в левую, добавив (по правилу) в цепь обратной связи звено с передаточной функцией получим:

Рисунок 4 – Преобразованная схема

Объединим последовательно соединенные звенья в эквивалентное звено:

Рисунок 5 – Звено, эквивалентное структурной схеме

Передаточная функция разомкнутой системы рассчитывается по формуле:

При условии, что k=k_уk_пk_дk_р

В общем виде:

, , , , , , .

Передаточная функция замкнутой системы:

, , , , ,

Передаточная функция по ошибке:

3 Построение частотных функций

Аналитические выражения для частотных характеристик замкнутой системы получают из комплексной передаточной функции :

АЧХ – модуль комплексной передаточной функции: ,

ФЧХ – аргумент комплексной передаточной функции:

Комплексная передаточная функция разомкнутой системы в общем виде

,

Одним из возможных путей получения функций АЧХ и ФЧХ является следующий:

Обозначим:

– действительная часть числителя,

– мнимая часть числителя,

– действительная часть знаменателя,

– мнимая часть знаменателя.

Тогда получим

Для того чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе умножим выражение на

и получим

Амплитуда – модуль комплексной передаточной функции

Фаза - аргумент комплексной передаточной функции

По полученным формулам рассчитаем P_a(ω), P_b(ω), Q_a(ω), Q_b(ω), P(ω), Q(ω), A(ω), (ω)при изменении ω от 1 до 16, занесем данные в таблицу 2 и построим зависимости A(ω) и (ω)(если фаза получается положительной, на графике откладываем (ω) = -2π). Диапазон изменения частоты выбирается таким, чтобы показать все особенности частотных характеристик.

Расчетные данные для частотных характеристик:

Таблица 2 - Расчетные данные для частотных характеристик

Рисунок 6 – АЧХ замкнутой системы

Рисунок 7 – ФЧХ замкнутой системы

Аналогично построим логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы. ЛАЧХ равна (преобразование выражений для L_p(ω) и _p(ω) и расчетные данные опущены для краткости изложения)

Рисунок 8 – ЛАЧХ для разомкнутой системы

Рисунок 9 – ЛФЧХ для разомкнутой системы

4 Исследование системы на устойчивость Критерий Гурвица

Составим определитель Гурвица в общем виде

Подставим значения коэффициентов (см. передаточную функцию замкнутой системы), получим определители Гурвица

Вывод: так как не все определители Гурвица больше 0, то система не устойчива.