1.1.3. Используемые на практике способы задания размеров несферических аэрозольных частиц

6. Стоксовский (седиментационный) радиус r_st несферических аэрозольных частиц - это радиус сферической частицы с той же плотностью и той же скоростью оседания. Для сферических частиц с радиусом r стоксовский радиус r_st = r. (См. рисунок слева).

7. Аэродинамический радиус r_a несферических аэрозольных частиц – это радиус сферической частицы с плотностью  = 1000 кг/м³ и оседающей с той же скоростью, что и рассматриваемая несферическая частица (см. рисунок справа). Для сферических частиц с радиусом r аэродинамический радиус r_a = r, только если плотность несферической частицы тоже равна 1000 кг/м³.

1.1.4. Динамика аэрозольных частиц

8. Одиночная сферическая частица в момент времени t = 0 начинает падать (всплывать) в вязкой среде под действием силы тяжести (выталкивающей силы). Найти закон движения, учитывающий действующие на частицу силу тяжести, выталкивающую силу Архимеда, важную в случае движения в плотной жидкости, силу гидродинамического сопротивления жидкости,

При небольших скоростях оседания (для частиц с размерами менее 100 мкм безразмерный критерий подобия Re < 0.1 и, следовательно, обтекание частицы жидкостью ламинарное) искомое дифференциальное уравнение имеет вид

где v – скорость частицы относительно среды, r – радиус частицы, _ч – плотность частицы, _ж - плотность среды (жидкой или газообразной), g – ускорение свободного падения в поле силы тяжести,  - вязкость среды.

В правой части этого уравнения первое слагаемое – сила гидродинамического сопротивления среды движущейся частице (закон Стокса), второе слагаемое – выталкивающая сила Архимеда, третье слагаемое – сила тяжести.

9. Найти выражение для стационарной скорости v_s оседания (всплывания) одиночной сферической частицы в сплошной вязкой среде при ламинарном режиме, используя равенство нулю суммы силы гидродинамического сопротивления, силы тяжести, выталкивающей силы Архимеда при стационарном прямолинейном движении.

(1)

После достижения частицей постоянной скорости оседания v = v_s производная dv/dt = 0, и, следовательно,

(2)

v_s = 2 r² (_ч - _ж) g / 9 = g ∙, (3)

где  - время релаксации частицы ( = 2 r² (_ч - _ж) g/ 9).

Равенство (2) означает, что при стационарном движении частицы сумма действующих на нее сил (сила гидродинамического сопротивления, сила Архимеда и сила тяжести) равна нулю.

Если _ч - _ж < 0, то частица всплывает в жидкости.

Если _ч - _ж > 0, то частица тонет.

Из полученного выражения (3) следует, что при _ч - _ж > 0 скорость стационарного оседания частицы увеличивается с увеличением ее размеров; с увеличением плотности материала, из которого эта частица состоит; при уменьшении вязкости и плотности среды.

Что можно сказать о скорости v_{s ст.} стесненного оседания множества частиц или одной частицы в узком канале? Эксперимент и теория показывают, что v_{s ст.} < v_s

10. Укажите физический смысл времени  релаксации аэрозольной частицы.

Рассмотрим для простоты решение дифференциального уравнения

m dv/dt = - 6   r v с начальным условием v = v(0) при t = 0:

,  = 2 r² _ч / 9 , v(t) = v(0) ∙ exp (- t /).

Что описывает это дифференциальное уравнение? Оно описывает движение частицы, имевшей в начальный момент времени скорость v(0), а дальнейшее ее движение по инерции происходит только под действием силы сопротивления среды. Как следует из решения, скорость v(t) частицы постепенно (по экспоненте) уменьшается до нуля. В данном случае время релаксации , это время, в течение которого скорость частицы, движущейся по инерции, замедляется в е раз под действием силы гидродинамического сопротивления среды.

Как изменится дифференциальное уравнение, если дополнительно учесть и силу тяжести и выталкивающую силу Архимеда? Как при этом изменится выражение для времени релаксации  ? Ответ на этот вопрос содержится в п.9.

11. После «выключения» движущей силы, действующей на аэрозольную частицу, ее инерционный пробег l_ч относительно вязкой среды до полной остановки равен

l_ч = = v(0) ∙, v(t) = v(0) ∙ exp (- t /),  = 2 r² _ч/ 9 

где v(0) - начальная скорость аэрозольной частицы в момент времени 0 и  - время релаксации.

Другая трактовка, более важная для практических приложений. Пусть частица движется вместе с газовым потоком прямолинейно и равномерно со скоростью v = u, где u – скорость потока. После изменения направления движения потока, например, на угол 90^о, составляющая пути частицы в направлении первоначального движения под действием инерции составляет величину l_ч = u∙. Подобные изменения направления потока происходит, например, в импакторах, в песчаных и волокнистых фильтрующих средах.

Примечание. В данной задаче для простоты игнорировалась плотность среды (например, газовой) по сравнению с плотностью частицы.

12. Подвижность аэрозольной частицы при равномерном и прямолинейном её движении – это отношение скорости частицы к действующей на нее движущей силе. При ламинарном обтекании средой подвижность В сферической частицы можно вычислить с помощью закона Стокса:

В = 1 / (6   r)

При необходимости дискретность среды учитывают поправкой Кенингема С_к:

В = С_к / (6   r)

Например, капельки масла с радиусом 0.1 мкм имеют подвижность 5.46 ∙10⁴ с/кг.

Вопрос. Почему при вычислении величины подвижности можно использовать не движущую силу, а силу сопротивления среды частице, рассчитываемую по закону Стокса?

Ответ. Потому что при равномерном и прямолинейном движении частицы движущая сила уравновешена силой сопротивления, вычисляемой в случае ламинарного обтекания с помощью формулы Стокса.

13. Используя подвижность В аэрозольной или гидрозольной частицы, скорость равномерного движения частицы к коллектору (collect – собирать) для случаев действия разных сил можно рассчитать по формулам:

1) B∙ m∙ g, 2) B∙ m∙ u ² / R , 3) B∙ q∙ E, где m - масса, u - линейная скорость потока, R - радиус кривизны траектории потока, q - электрический заряд частицы, Е – напряженность внешнего электрического поля.

14. Что характеризуют безразмерные критерии подобия Рейнольдса (Re), Кнудсена (Кn), Стокса (Stk), Пекле (Ре)?

Re = v ∙2 r ∙_г / Kn = < l_г > / r, Stk = u ∙ /а, Ре = u ∙ а / D.

Безразмерный критерий подобия Рейнольдса Re для аэрозольной частицы определяется отношением силы инерции, связанной с изменением траектории небольших масс среды, обтекающей частицу, к силе трения, возникающей благодаря вязкости среды:

Re = Инерционная сила/Сила вязкости = (_г∙ v ²/2 r)/( ∙v/(2 r)²) = v ∙2 r∙_г /,

Критерий Рейнольдса характеризует характер обтекания тела газом или жидкостью. «Безинерционное» ламинарное течение среды с увеличением критерия Re постепенно переходит в турбулентное (инерционное).

Безразмерный критерий подобия Кнудсена характеризует степень дискретности газа по отношению к помещенной в него частице. Он определяется отношением среднего свободного пробега < l_г > молекул газа к размеру r частицы:

Kn = < l_г > / r

Различают три вида течения газа около поверхности частицы: вязкое (Kn = 0), свободно – молекулярное (Kn→∞) и промежуточное.

Диффузионный критерий Пекле Ре - отношение конвективного (он пропорционален ~uа ) потока аэрозольных частиц на коллектор с характерным размером а к диффузионному (он пропорционален ~D) потоку. Например, критерий Пекле для волокна с радиусом а в волокнистом фильтре имеет вид

Ре = uа / D

Если число Пекле мало, то при осаждении аэрозольных частиц на волокно преобладает молекулярная диффузия. Если же оно велико, то преобладает конвективный перенос, а вклад молекулярной диффузии незначителен.

Инерционный критерий подобия Стокса Stk характеризует отношение инерционного пути

u · частицы к размеру препятствия, например, к радиусу а цилиндрического волокна в волокнистом фильтре

Stk = u· / а

При Stk = 0 инерционное оседание а.ч. на волокно не происходит: аэрозольные частицы точно следуют линиям тока обтекающей волокно жидкости, не смещаясь с них.

Инерционное оседание а.ч. на волокно увеличивается при увеличении критерия Stk.

Инерция – свойство тел при отсутствии внешних сил или при наличии воздействий, уравновешивающих друг друга, сохранять неизменным свое движение, а при появившихся новых внешних силовых воздействиях изменять направление и скорость движения лишь постепенно. Движение тела изменяется тем медленнее, чем больше инерция тела. Мерой инерции тела при поступательном движении является его масса m, а при вращательном движении вокруг неподвижной оси – момент инерции J тела относительно этой оси. Например, момент инерции J вращающегося шара с радиусом R равен

J = r²dm = (2/5) R² m

где m – масса шара.

15. Схема отбора проб аэрозолей из воздуховода.

Рис. 1 – воздуховод, 2 – пробоотборная трубка, 3 – насадка, 4 – измерительный прибор (например, фильтрующий материал ФП), 5 – расходомер, 6 – воздуходувка.

16. Изобразите схему изокинетического отбора проб аэрозолей с помощью пробоотборных трубок. Каким условиям должен соответствовать изокинетический отбор?

Усредненная линейная скорость потока <u_т > аэрозоля в пробоотборной трубке должна быть одинаковой по величине и по направлению с линейной скоростью u потока перед трубкой. На рис.16.1: а) Если <u_т > = u, но направления не совпадают, то < с_т > < с . б) Если < u_т > > u и направления совпадают, то < с_т > < с. в) Если <u_т > < u и направления совпадают, то < с_т > > с. г) Если <u_т > = u и направления совпадают, то < с_т > = с. Именно при выполнении последнего условия санитарный врач получит правильное значение концентрации аэрозоля с в отбираемом с помощью пробоотборной трубки пробе газа. Иначе говоря, вариант г соответствует изокинетическому отбору проб аэрозоля из аэрозольного потока.