3.3.Розрахунок взаємних похідних другого порядку

Нехай значення власних похідних f’_x, f’_y, f"_xx, f"_yy функції двох змінних х та у розраховані заздалегідь. Для цього потрібно мати значення функції в п’яти точках. При використанні додатково однієї точки f_+х+y, що відповідає одночасній зміні двох параметрів:

(3.5)

При використанні додатково двох точок f_+х+y та f_-х-y (зміна двох параметрів у два боки):

(3.6)

Задача 3.7. Визначити частинні похідні першого та другого порядку функції f(х, у) = x² +2ху + у² у точці (1, 1) при x=у=0.1.

Розв’язок. Підготовчі результати для розв’язання задачі наведені в таблиці.

№ точки	Позначення функції	Значення
		x	y	f(х, у)
1	f(x,y)	1	1	4
2	f(x+x,y)	1.1	1	4.41
3	f(x-x,y)	0.9	1	3.61
4	f(x,y+y)	1	1.1	4.41
5	f(x,y-y)	1	0.9	3.61
6	f(x+x,y+y)	1.1	1.1	4.84
7	f(x-x,y-y)	0.9	0.9	3.24

Тоді, з формул (3.3, 3.4) за схемою 3Т:

Таким чином, взаємна похідна

Отримані результати співпадають із значеннями похідних, отриманих аналітично. Таким чином, завдяки використанню схеми 3Т значення похідних заданої квадратичної функції розраховані без методичної похибки.

4.Визначення міри відповідності характеристик реа

Задача визначення міри відповідності поточної К(х) та потрібної К_тз(х) характеристик радіоелектронного апарату [8] у більшості випадків грунтується на розрахунку визначенного інтеграла функції:

Для аналітичного визначення інтегралу не завжди вдається використати формулу Ньютона-Лейбниця. Тому використовують чисельні методи, що грунтуються на використанні різних типів інтерполяції досліджувальної функції. Найбільш простими та поширеними з них є методи прямокутників, трапецій та Симпсона.

Для зменшення методичної похибки, що виникає при широких інтервалах інтегрування, останній розбивається на n підінтервалів. Це призводить до більш точного моделювання елементарної криволінійної трапеції, але збільшує кількість розрахунків, що відповідно збільшує витрати часу і призводить до зростання обчислювальної похибки моделювання.

4.1.Метод прямокутників

Метод прямокутників [1, 2] для розрахунку визначенного інтеграла функції грунтується на заміні елементарної криволінійної трапеції прямокутником. При цьому, досліджувана функція на підінтервалі інтерполюється константою. Якщо інтервал інтегрування розбито на n підінтервалів зі значеннями функції y_i (і = 1, ..., n) в них, то значення загального інтегралу визначають за формулою:

.

(4.1)

Відповідно до вибору точки відліку функції (на початку, в кінці або в середині інтервалу інтегрування) площа елементарного прямокутника (рис.4.1) може бути розрахована за формулами:

Іпр1 = f(a)(b-a), Іпр2 = f(b)(b-a), І пр3 = f((а+b)/2)(b-a).

(4.2)

Вибір точки відліку функції значною мірою впливає на точність розрахунків.

Рис.4.1. До відліку функції на інтервалі

Різні знаки похибки ліворуч і праворуч середини інтервалу інтегрування третьго варіанта призводять до зменшення загальної похибки, яка може бути значно меншою, ніж у перших двох варіантах.

Задача 4.1. Проінтегрувати функцію f=x² на інтервалі [0, 1] методом прямокутників з розбивкою на 2 підінтервала та вибором точок відліку фунуції ліворук, праворуч та в середині підінтервалів.

Розв’язок. Значення кроку інтегрування Значення функції, що використовуються у розрахунках наведені в таблиці.

xi	0	0.5	1	0.25	0.75
yi	0	0.25	1	1/16	9/16

Результати розрахунків значень І_пр1, І_пр2, І_пр3 інтеграла відповідно з вибором точки відліку функції на початку, в кінці та в середині підінтервалу наведені в таблиці.

№	Результати обчислень	Відносна похибка
1	Іпр1 = h [f(a) + f(а+h)] = = 0.5 [0 + 0,25] = 1/8 = 0.125
2	Іпр2 = h [f(a+h) + f(b)] = = 0.5 [ 0,25 + 1 ] = 5/8 = 0.625
3	Іпр3 = h [f(a+h/2) + f(a+h+h/2)] = = 0.5 [ 1/16 + 9/16 ] = = 5/16 = 0.3125

Розрахунок відносної похибки виконувався за формулою , де - точне значення інтегрaлa. При виборі точки відліку функції у середині підінтервала похибка інтегрування на порядок меньша, ніж при виборі точки відліку функції на його межах.

Фрагмент програми Ract розрахунку визначенного інтеграла методом прямокутників з вибором точки відліку функції у середині підінтервала наведено нижче.

dx:=(b-a)/n; x:=a+dx/2; I1:=0; for i:=1 to n do begin I1:=I1+f(x); x:=x+dx; end; I1:=I1*dx; writeln(I1:12:5);

Результати розрахунку визначеного інтеграла методом прямокутників для різної кількості n= 10, 100, …, 1000000 підінтервалів інтегрування з використанням програми Ract наведені в таблиці.

n	x	Значення інтеграла			Відносна похибка розрахунків
		Іпр1	Іпр2	Іпр3	пр1	пр2	пр3
10	0.1	0.285	0.385	0.3325	-0.14500	0.15500	-0.00250
100	0.01	0.32835	0.33835	0.33333	-0.01495	0.01505	-0.00002
1000	0.001	0.33283	0.33383	0.33333	-0.00150	0.00150	-0.00000
10000	0.0001	0.33328	0.33338	0.33333	-0.00015	0.00015	-0.00000
100000	0.00001	0.33333	0.33334	0.33333	-0.00002	0.00001	-0.00000
1000000	0.000001	0.33333	0.33333	0.33333	-0.00000	0.00000	0.00000

Похибка інтегрування _пр3 <0.01 при виборі точки відліку функції в середині підінтервалу досягнута вже при n = 10, в той час як _пр1<0.01 і _пр2<0.01 відповідно при виборі точки відліку функції на лівій та правій межах підінтервалу інтегрування отримані лише для n = 1000. Економія в розрахунках сягаэ 100 разів.