§ 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными ( кратко СЛАУ) вида:

(1)

Возьмем матрицу из коэффициентов этой системы

,

вектор-столбец

из неизвестных , , и вектор-столбец

из свободных членов b_i данной СЛАУ. Тогда эту СЛАУ можно записать в матричном виде

. (2)

с учетом правила умножения матриц.

Если A = A_nn , то СЛАУ называют квадратной, а если , то однородной или коротко ОСЛАУ.

Пусть А - квадратная матрица, для которой , т.е. существует А^-1. Тогда, умножая обе части (2) слева на А^-1, получим

.

Так как и , то имеем

(3)

- решение квадратной системы (2) в матричной форме, когда .

Пример.

, т.е. ; .

Рассмотрим метод Крамера решения квадратной СЛАУ. Для этого запишем формулу (3) в матричном виде:

=  ,

где - алгебраические дополнения для элементов а_ij i,j=1,2,…, п, матрицы A= =(a _ij ) квадратной СЛАУ. Применяя правило умножения матриц получим

= и, следовательно, на основании определения равенства матриц имеем

где _i ,i=1,2,…,n, - определители вида

, , …, ,

которые получаются из определителя матрицы А_nn путем замены его i-го столбца вектором-столбцом свободных членов .Таким образом , , i = 1,2,…, n .

Пример.

;

; ;

т.е. ; .

Определение. Матрица называется расширенной матрицей СЛАУ. Решением СЛАУ называется n значений неизвестных , , при подстановке которых в (1) все уравнения ее обращаются в верные числовые равенства , . СЛАУ (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.Ответ на вопрос о совместности СЛАУ (1) дает

Теорема 1 (Кронекера-Капелли)

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда , т.е. ранг расширенной матрицы системы (1) равен рангу основной матрицы А этой системы.

Определение. Совместная СЛАУ называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

Теорема 2. Если СЛАУ (1) совместна и , где n - число неизвестных , , то система имеет единственное решение, т.е. является определенной.

Теорема 3. Если СЛАУ(1) совместна, а n, то эта система имеет бесконечное множество решений, т.е. является неопределенной.

Замечание. Однородная система всегда совместна, так как , и потому имеет тривиальное (нулевое) решение , , когда .

Теорема 4. Для того, чтобы ОСЛАУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы rang А  n, где n - число неизвестных , .

Если система имеет более одного решения, то каждое ее решение называют частным.

Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить СЛАУ это значит 1) выяснить совместна она или нет и 2) найти общее решение в случае, когда СЛАУ совместна.

Две системы СЛАУ называют эквивалентными, если они имеют одно и то же решение. В частности, эквивалентные системы СЛАУ получаются при элементарных преобразованиях системы при условии, что эти преобразования выполняются лишь над строками расширенной матрицы системы. На этом основан метод Гаусса решения СЛАУ, когда матрица приводится путем элементарных преобразований над ее строками к ступенчатому виду. При этом удобно, чтобы . Для этого следует либо переставить местами уравнения, либо разделить обе части первого уравнения на . Если в процессе приведения матрицы к ступенчатому виду при элементарных преобразованиях над ее строками появятся нулевые строки, то соответствующие им равенства в (1) отбрасывают. Если же появятся уравнения вида , 1im, где , то это говорит о несовместности системы, так как  .

Замечание. Если r  n и СЛАУ (1) совместна, то общее решение СЛАУ (1) содержит неизвестных , , которые выбираются произвольно. Они являются параметрами решения, а остальные r базистные неизвестные , , определяются единственным образом через эти свободные неизвестные, так как их число равно рангу r матрицы А.

Пример. Решить систему методом Гаусса

, n = 4

Решение.

  

  ,

т.е.  4. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений, из которых 2 являются базисными. Положим за базисные решения, так как базисный минор . Тогда имеем общее решение системы:

или в явном виде .

Здесь - свободные неизвестные или параметры. Если положить , то найдем частное решение

; ; ; .