Дифференциальные исчисления функций одной переменной

Функция описывает зависимость между двумя переменными ве­личинами и . Если независимая переменная в точке получила прираще­ние (т.е. ), то переменная получит приращение .

Предел отношения , если стремится к нулю, называется производной функции в точке и обозначается или .

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Производная сложной функции

Пусть , где является не независимой переменной, а функцией независимой переменной , т.е. . Таким образом, . В этом случае функция называется сложной функцией , а переменная  промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной .

Эта теорема распространяется и несложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Формулы дифференцирования

С – постоянная, и функции аргумента

1.		4.			7.
2.		5.
3.		6.
Основные элементарные функции			Сложные функции
			8а
			9а
			10а
			11а
			12а
			13а
			14а
			15а
			16а
			17а
			18а
			19а
			20а

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5 и 8:

Пример 2. Найти производную функции .

Решение: применив последовательно формулы 4, 3, 5 и 8, имеем

.

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим:

Пример 4. Найти производную функции и вычислить ее значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 8а и 13, имеем: .

Вычислим значение производной при .

.

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Используя правило дифференцирования произведения и соответствующие формулы нахождения производных, получим

.

Пример 6. Найти производную функции .

Решение: используя правило дифференцирования частного и соответствующие формулы нахождения производных, получим

Пример 7. Найти производную функции .

Решение: полагая , получим .

Пример 8. Найти производную функции .

Решение.