Формула полной вероятности

Иногда найти вероятность интересующего нас события А, Р(А) , по классической формуле трудно или принципиально невозможно. Однако известны или легко находятся условные вероятности события А относительно полной группы попарно несовместных событий Н₁ , Н₂ , ... , Н_n, называемых гипотезами. То есть событие А может произойти с одним из событий Н_к ,

Предположим, что известны вероятности гипотез Р(Н_к ) и условные вероятности Р( А/Н_к ). В нашем случае Н₁ + Н₂ + ... +Н_n =  , то есть событие достоверное. Можно показать, что

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример . Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защищены от воздействия помех. Вероятность того, что защищенный канал не выйдет из строя в течение времени τ равна 0.95, для незащищенного канала – 0.8. Найти вероятность того, что наудачу выбранный радиотелеграфистом канал радиосвязи не выйдет из строя за указанный промежуток времени.

Решение. Из условия задачи очевидно, что нас интересует событие А − канал радиосвязи не выйдет из строя за указанный промежуток времени. Для опыта – случайно выбирается один радиоканал – пространство элементарных событий Ω ={ Н₁ , Н₂ } состоит из 2 событий:

Н₁ − канал защищен от воздействия помех,

Н₂ − канал не защищен от воздействия помех.

Эти события могут быть выбраны в качестве гипотез.

По условию задачи вероятности выбора защищенного и незащищенного каналов соответственно равны:

Р(Н₁) = 6/10; Р(Н₂) =4/10.

Событие А (канал радиосвязи не выйдет из строя) может происходить по условию задачи только вместе событиями Н₁ (канал защищен) и Н₂ (канал не защищен) т. е. (рис. 1).

Рис. 1

Вероятности того, что канал не выйдет из строя, равны соответственно

Р(А/Н₁ ) = 0.95; Р(А/Н₂ ) = 0.8.

По формуле (3) находим

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁ )+Р(Н₂)Р(А/Н₂ ) = 0.60.95 + 0.40.8 = 0.83.

Пример . Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0.25; 0.35 и 0.40 , соответственно. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, равны соответственно 0.1; 0.2 и 0.3. Определить вероятности того, что случайно взятая лампа проработает заданное число часов.

Решение. Из условия задачи очевидно, что нас интересует событие А − лампа проработает заданное число часов. Для опыта – случайно берется одна лампа – пространство элементарных событий Ω ={ Н₁ , Н₂ , Н₃ } состоит из 3 событий: Н₁, Н₂, Н₃ − лампа принадлежит, соответственно, первой, второй и третьей партии. Эти события могут быть выбраны в качестве гипотез.

По условию задачи вероятности того, что радиолампа принадлежит к одной из трех партий, соответственно равны:

Р(Н₁) = 0.25; Р(Н₂) = 0.35; Р(Н₃) = 0.40.

Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, равны соответственно

Р(А/Н₁ ) = 0.1; Р(А/Н₂ ) = 0.2; Р(А/Н₃ ) = 0.3.

По формуле (3) находим

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁ )+Р(Н₂)Р(А/Н₂ )+Р(Н₃)Р(А/Н₃ ) =

= 0.250.1 + 0.350.2 + 0.400.3 = 0.215.

Пример . В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение. Пусть событие А − извлечен белый шар – интересующее нас событие. Для опыта – случайно берется один шар из урны. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

Н₁ − белых шаров нет,

Н₂ −один белый шар,

Н₃ − два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равно возможны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е.

Р(Н₁)= Р(Н₂)= Р(Н₃)= 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, Р (А/Н₁ ) = 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, Р (А/Н₂ ) = 2/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара, Р (А/Н₃ ) = 3/3 = 1.

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)+Р(Н₃)Р(А/H₃)=

=1/31/3 +1/32/3+1/31=2/3.

Формула БАЙЕСА

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А, вероятность которого следовало определить, могло произойти с одним из событий Н₁ , Н₂ , ... , Н_n, образующих полную группу попарно несовместных событий. При этом вероятности указанных событий (гипотез) были известны заранее. Предположим, что произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероятностей гипотез Н_i , вычислив Р(Н_i/А).

или, воспользовавшись формулой полной вероятности, получим

Эту формулу называют формулой Байеса или теоремой гипотез. Формула Байеса позволяет «пересмотреть» вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, в результате которого появилось событие А.

Вероятности Р(Н_i) − это априорные вероятности гипотез (они вычислены до опыта). Вероятности же Р(Н_i/А) − это апостериорные вероятности гипотез ( они вычислены после опыта). Формула Байеса позволяет вычислить апостериорные вероятности по их априорным вероятностям и по условным вероятностям события А.

Пример . Известно, что 5 % всех мужчин и 0.25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо по номеру медицинской карточки страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?

Решение. Событие А – человек страдает дальтонизмом. Пространство элементарных событий для опыта – выбран человек по номеру медицинской карточки – Ω = {Н₁ , Н₂ } состоит из 2 событий:

Н₁ −выбран мужчина,

Н₂ −выбрана женщина.

Эти события могут быть выбраны в качестве гипотез.

По условию задачи (случайный выбор) вероятности этих событий одинаковые и равны Р(Н₁) = 0.5; Р(Н₂) = 0.5.

При этом условные вероятности того, что человек страдает дальтонизмом, равны соответственно:

Р(А/Н₁ ) = 0.05 = 1/20; Р(А/Н₂ ) = 0.0025 = 1/400.

Так как известно, что выбранный человек дальтоник, т. е. событие произошло, то используем формулу Байеса для переоценки первой гипотезы:

Пример . Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

Решение. Обозначим через А событие – появление белого шара. Можно сделать три предположения (гипотезы) о выборе ящика: Н₁, Н₂, Н₃ − выбор соответственно первого, второго и третьего ящика.

Так как выбор любого из ящиков равновозможен, то вероятности гипотез одинаковы:

Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)=1/3.

По условию задачи вероятность извлечения белого шара из первого ящика

Вероятность извлечения белого шара из второго ящика

Вероятность извлечения белого шара из третьего ящика

Искомую вероятность находим по формуле Байеса:

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Проводится n испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти, причем вероятность события А в каждом отдельном испытании постоянна, т.е. не меняется от опыта к опыту. Как найти вероятность события А в одном опыте мы уже знаем.

Представляет особый интерес вероятность появления определенного числа раз (m раз) события А в n опытах. подобные задачи решаются легко, если испытания являются независимыми.

Опр. Несколько испытаний называюся независимыми относительно события А, если вероятность события А в каждом из них не зависит от исходов других опытов.

Вероятность Р_n(m) наступления события А ровно m раз (ненаступление n-m раз, событие ) в этих n испытаниях. Событие А появляется в самых разных последовательностях m раз).

- формулу Бернулли.

Очевидны следующие формулы:

Р_n(m<k) = Р_n(0) + Р_n(1) +…+ Р_n(k-1) - вероятность наступления события А менее k раз в n испытаниях.

P_n(m>k) = P_n(k+1) + P_n(k+2) +…+ P_n(n) - вероятность наступления события А более k раз в n испытаниях.

P_n(m k) = P_n(k) + P_n(k+1) + P_n(k+2) +…+ P_n(n) - вероятность наступления события А не менее k раз в n испытаниях

Р_n(m k) = Р_n(0) + Р_n(1) +…+ Р_n(k-1) + P_n(k) – вероятность наступления события А не более k раз в n испытаниях

- вероятность наступления события А хотя бы один раз в n испытаниях

Р_n(m<k) = 1 - P_n(m k)

P_n(m>k) = 1 - Р_n(m k)

- вероятность того, что в n опытах событие А появится от k₁ до k₂ раз.

Задача 1. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»? Какова вероятность, что более одного раза выпадет «герб»?

р = р(А) = ½, q = р( ) = ½,

1) n = 8, m = 4, p = q = ½,

P₈(4) =

2)