2.1. Последовательности
2.1.1. Сформулируйте и докажите теорему о пределе суммы двух бесконечно малых последовательностей.
Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство:
)
)
Докажем,
что
.
Если
N=max{N1,
N2},
тогда для N
выполняются одновременно неравенства
и
.
Значит,
что
Таким
образом,
2.1.2. Сформулируйте и докажите теорему о пределе разности двух бесконечно малых последовательностей.
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство:
)
)
Докажем,
что
.
Если N=max{N1, N2}, тогда для N выполняются одновременно неравенства и .
Значит,
что
2.1.3. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности бесконечно малой последовательности.
2.1.4. Сформулируйте и докажите теорему о произведении ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность.
Произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство:
Пусть { xn } – ограниченная последовательность
{ αn } – бесконечно малая последовательность
Надо
доказать, что
Действительно,
Значит,
2.1.5. Сформулируйте и докажите теорему о пределе последовательности {1/xn}, если последовательность {xn} является бесконечно большой.
2.1.6. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.
2.1.7. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.
2.1.8. Сформулируйте и докажите теорему о пределе суммы сходящихся последовательностей.
2.1.9. Сформулируйте и докажите теорему о пределе разности сходящихся последовательностей.
2.1.10. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения сходящихся последовательностей.
2.1.11. Сформулируйте и докажите теорему о пределе частного сходящихся последовательностей.
2.1.12. Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенствах.
2.1.13. Сформулируйте и докажите теорему о пределе монотонной последовательности.
2.1.14. Сформулируйте и докажите теорему о монотонности последовательностей {xn}=(1+1/n)n и {xn}=(1+1/n)n+1 .
2.1.15. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела у монотонной последовательности.
2.1.16. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела последовательности {xn}= (1+1/n)n. .
Рассмотрим последовательность {xn} = {(1+1/n )n}.
Докажем, что эта последовательность возрастает и ограничена сверху. Применив формулу бинома Ньютона, найдем
Совершенно
аналогичным образом запишем элемент
Непосредственным
сравнением убеждаемся, что
,
т.е. последовательность
}
возрастающая.
Для
доказательства ограниченности этой
последовательности сверху заметим, что
каждое выражение в круглых скобках в
соотношении для
меньше единицы. Учитывая, что
при k≥2
получим:
.
Итак, последовательность {xn} возрастает и ограничена сверху.
По
теореме Вейерштрасса эта последовательность
сходящаяся и имеет предел. Этот предел
называют числом е
.
2.1.17. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предельной точки у ограниченной последовательности.
