4.3 Приклади розв’язування задач.

Приклад 4.1. На залізничній платформі рухається по інерції зі швидкістю , закріплене знаряддя, яке напрямлене в сторону руху платформи і при піднятий над горизонтом на кут (рис. 4.1). Знаряддя виконало вистріл, в результаті чого платформа із знаряддя сповільнила рух в 3 рази. Знайти швидкість снаряду (відносно знаряддя) при вильоті із ствола. Маса снаряду , маса платформи з знаряддям .

Рис. 4.1

Розв’язок: З’ясувати можливість застосування закону збереження імпульсу. На систему платформа із знаряддям – снаряд, діє дві сили: сила тяжіння системи і сила нормального тиску рейок. До вистрілу ці сили урівноважувалися, так як система рухалася рівномірно. Під час вистрілу сила взаємодії між платформою і рейками зростає внаслідок явища віддачі, тому урівноваження сил, прикладених до системи, порушується:

.

Звідси, під час вистрілу система не являється замкнутою, її імпульс змінюється. Врахуємо, те що дві сили які діють по вертикалі, в той час як в горизонтальному напрямку ніякі сили на систему не діють 9тертям платформи з рейсами знехтувати). Тому проекція імпульс системи в горизонтальному напрямку (вісь х на рис. ) є величина стала

(1)

Нехай стан системи до і після вистрілу відповідають значенню , рівне і . Розглянувши, всі рухи відносно землі отримаємо:

, (2)

, (3)

де – проекція на осі швидкості снаряд відносно Землі (рис. 4.1).

Щоб зв’язати величину з шуканою швидкістю , будемо розглядати рух снаряду відносно землі як складний, який складається з двох: зі швидкістю відносно знаряддя і зі швидкістю разом із знаряддям відносно Землі. Тоді відповідно з формулою отримаємо

. (4)

Спроектуємо, вектори які входять в (4) на вісь :

. (5)

Замінивши в (3) величину її значенням із (5) і прирівнявши, згідно (1) праві частини формул (2) і (3), знайдемо

.

Рис. 4.2

Приклад 4.2. На кормі човна довжиною і масою сидить людина масою . В результаті короткочасного поштовху човна з людиною отримує швидкість і починає рухатись з одного берегу каналу шириною до другого (рис. 4.2), при цьому людина переходить з корми на ніс човна. Нехтуючи опором води, знайти руху човна.

Розв’язок: Розглядаючи систему човен – людина і застосовуючи до неї закон збереження імпульсу , приходимо до висновку, що оскільки рух людини відносно човна нам відомо, рух човна відносно води (або землі) неможна рахувати рівномірним. Але на основі співвідношення можна стверджувати, що швидкість центру інерції системи відносно води є величина постійна: . Звідси виходить, що шуканий час

, (1)

де і і – його переміщення і швидкість. Далі можливі два шляхи рішення задачі:

1. Як видно з малюнку, виконується співвідношення

, (2)

де – модуль переміщення човна відносно води, – модуль переміщення центра інерції системи відносно човна.

Щоб знайти величину , виберемо систему відліку, зв’язану з центром інерції системи човен – людина.

Нехай , – модуль переміщення човна і людини. При цьому як видно з рис. 4.3, . Тоді, направивши вісь проекції вправо і врахувавши переміщення двох тіл, запишемо співвідношення в скалярній формі:

,

Звідси

. (3)

Але в силу відносності руху . Тепер (1) – (3) знаходимо відповідь:

. (4)

Рис. 4.3

2. Із формули (1) отримуємо, що відповідь не залежить від характеру руху людини. Припустимо, що воно було рівномірним протягом всього проміжку часу . Тоді буде рівномірним рух човна. Нехай , – імпульси системи відповідно в початковий і в деякий проміжний моменти часу. Тоді, по закону збереження імпульсу, ,

, (5)

де – швидкість човна, – швидкість людини (всі швидкості дані в системі відліку зв’язаною із Землею).

Розв’язавши рівняння (5) відносно , отримаємо таку саму відповідь (4).

Рис. 4.4

Приклад 4.3. Санки рухаються по горизонтальному льоді , виїдають на асфальт. Враховуючи, що полозі санок рівні , а їх коефіцієнт тертя з асфальтом рівне , визначити шлях , пройденого санами по асфальту, якщо відомо, що . Масу санок рахувати рівномірно розподіленою по довжині полозі. Тертям санок з льодом знехтувати.

Розв’язок: Коли сани виїдають на асфальт, виникає поступове збільшення сили тиску полозів на асфальт від нуля до максимального значення, рівного сили тяжіння санок. Зв’язку з цим виростає сила тертя , діюча на сани зі сторони асфальту.

Оскільки сани рухаються під дією змінної сили, для розв’язку використаємо поняття роботи і енергії. Робота сили тертя, яка діє на сани, визначається зміною її кінетичної енергії від до . Тоді на основі співвідношення можна записати

. (1)

З іншої сторони, робота можна визначити за формулою і . Для цього розділимо весь шлях, пройдений санами, на дві ділянки: . На шляху на сани діє змінна сила . Знайдемо виконану нею роботу . Нехай сани пройшли по асфальту шлях (рис. 4.4), тоді сила тиску полозів на асфальт рівна , сила тертя .Тепер отримаємо:

(2)

Інтеграл взятий зі знаком мінус, тому що величина і мають протилежні знаки. На шляху сила тертя постійна і рівна , і тому виконує роботу

.

Повна робота сил тертя

(3)

Прирівнюємо праві частини рівнянь (1) і (3) і скоротивши масу, знайдемо

.

Таким чином, весь шлях, пройдений санями:

.

Рис. 4.5

Приклад 4.4. Гиря покладена на верхній кінець спіральної пружини, стискає її на . На скільки стисне пружину ця ж гиря, кинута вниз з висоти із швидкістю ?

Розв’язок: Шукана величина деформації пружини визначається за формулою потенціальну енергію тіла. Так як на гирю діє сила тяжіння, розглянемо систему Земля – гиря – пружина. Оскільки при русі гиря і стисканні пружини тертя майже не виникає, повна механічна енергія цієї ізольованої системи буде зберігатися.

Підрахуємо енергію системи в її початковому (I) і кінцевому (II) положеннях (рис. 4.5). Виберемо за нульовий рівень відліку висоту самого нижнього положення гирі, відповідного до стискання пружини. В початковому положенні енергія системи складається з потенціальної і кінетичної енергії гирі:

. (I)

В кінцевому положенні у гирі не буде кінетичної енергії, проте стиснута пружина володіти енергією пружної деформації. Тепер повна енергія системи буде

, (2)

Де коефіцієнт пружності , згідно його визначення, рівне

(3)

Прирівнявши по закону збереження енергії, праві частини виразу (1) і (2) з урахуванням виразу (3), отримаємо після простих перетворювань квадратне рівняння відносно :

.

Розв’язавши рівняння, знайдемо

.

Від’ємний корінь рівняння повинен бути відкинутий: означає розтягнення пружини, тоді коли вона, насправді, стискається.

Виразивши величини, які входять у формулу, в одиницях СІ і підставивши їх числові значення, виконаємо обчислення:

.

Рис. 4.6

Приклад 4.5. . Невелике тіло зсковзує вниз з висоти по похилому жолобу, яке переходить в «мертву петлю» радіуса (рис. 4.6). На якій висоті випадає тіло з петлі? Тертям знехтувати.

Розв’язок: Спочатку вияснимо, чому тіло рухаючись вздовж петлі може від неї відірватися. На тіло в довільний момент часу, рухаючись вгору по петлі, діє дві сили: сила тяжіння і сили тиску петлі, напрямлена по радіусу до центру кола. За другим законом Ньютона,

(1)

Спрямуємо осі проекції і по векторам нормального і тангенціального прискорення і , по радіусу і доторкається до кола. Враховуючи, що і , отримаємо замість (1) два скалярних рівняння для осей і відповідно:

, (2)

. (3)

Так як при русі вверх по петлі величина зростає, а зменшується, то величина – в рівнянні (2) повинна і в подальшому спадати. При перетворенні в нуль тіло відірветься від петлі.

Прийнявши , перепишемо, скоротивши величину , рівняння (2) і (3) для моменту відривання тіла від петлі:

, ( )

( )

В систему ( ) і ( ) не ввійшла шукана величина , зате вона просто зв’язана з кутом . Як видно з рисунка,

. (4)

Тому буде достатньо знайти величину . Однак найти її із системи ( ), ( ) неможливо, так як ці системи містять більше двох невідомих.

Вичерпавши можливості, які дає другий закон Ньютона для тіла яке рухається вздовж петлі, використаємо закон збереження енергії. Так як тертя відсутнє, то на тіло діють тільки потенціальні сили, то повна механічна енергія тіла (точніше замкнута система тіло – жолоб – земля) під час його руху буде зберігатися.

В початковий момент часу тіло володіє тільки потенціальною енергією . В момент відривання тіла, яке рухається зі швидкістю тіла його повна енергія .Прирівнявши за законом збереження енергії величини і отримаємо

. (5)

Тепер із ( ), (4) і (5) легко знайти відповідь:

.

Зауваження: 1. Ми розв’язали задачу не використавши рівняння (3), виразивши другий закон Ньютона для дотичного і колового напрямку. В задачі руху по колу у вертикальній площині закон збереження енергії заміняє диференціальне рівняння(3), яке і складати, взагалі, не потрібно.

2. Цікаво відмітити те, що тіло падає із петлі не при будь – яких значеннях . Дійсно, так як не може бути більше і менше (при , навіть повністю втративши швидкість тіло не відривається від петлі, почне котитися назад), і , то підставивши ці значення в (6), отримаємо , . Звідси, при і тіло із петлі не випаде.

Рис. 4.7

Приклад 4.6. При пружному ударі нейтрона з ядром вуглецю, він рухається після удару в напрямку, перпендикулярному початковому. Враховуючи, що маса ядра вуглецю в раз більше маси нейтрона, визначимо, в скільки раз зменшиться енергія нейтрона в результаті удару.

Розв’язок: Введемо значенням: – швидкість нейтрона удару, – після удару; – швидкість ядра водню після удару (до удару вона рівна нулю).

В результаті пружного удару імпульс і енергія, якими до удару володів нейтрон, розподіляються між двома частинками. При цьому за законом імпульсу і енергії відповідно маємо:

(1)

. (2)

За умовою задачі необхідно знайти відношення

.

Для виконання розрахунків необхідно перейти від векторної форми рівняння (1) до скалярної форми. Це можна зробити, застосувати метод проекцій, який не однократно використовується. Але в даному випадку можна зробити простіше .Зобразимо на рисунку імпульси , і їх векторну суму , врахувавши, що кут між векторами і рівний (рис. 4.7). З трикутника імпульсів маємо

. (3)

Почленно розділимо рівняння (2) на і (3) на і врахувавши умову , отримаємо:

, (4)

. (5)

Щоб виключити із системи величину , розділимо почленно (5) на (4):

,

А чисельник і знаменник отриманого співвідношення – на , тоді знайдемо

,

Звідси

.

Приклад 4.7. . Молот масою , рухається зі швидкістю , вдаряється об залізний виріб, який лежить на ковадлу. Маса на ковадла разом з виробом рівна . Вважаючи удар абсолютно не пружним, визначимо енергію, витрачену на ковку (деформацію) виробу. Яке значення ККД процесу ковки при даних умовах.

Розв’язок: Спочатку обґрунтуємо можливість застосування законів збереження для розв’язку даної задачі. Конкретно кажучи, система молот – виріб – на ковальня не являються замкнутою. На неї діє сила тяжіння і сила тиску опір, на якій стоїть на ковальня. Під час удару молота друга сила в тій чи інший степені, визначається пружними властивостями опори, буде перевищувати першу силу і до розглядуваної системи буде прикладена рівно дія .

Однак сила ударної взаємодії тіл досить велика. Очевидно, умова задачі передбачає, що порівняно з цими силами величиною можна знехтувати, і таким образом, рахувати систему замкнутою.

На основі закону збереження енергії можна стверджувати, що енергія, затрачена на деформацію виробу, рівна різниці значень механічної енергії системи до і після удару. Так як під час удару змінюється тільки кінетичної енергія тіла (незначним переміщенням тіл по вертикалі за час удару ми знехтуємо), то отримаємо для енергії деформації

, (1)

де – загальна швидкість всіх тіл системи після не пружного удару. Її знайдемо на основі закону збереження імпульсу:

. (2)

Підставимо в формулу (1) значення із рівняння (2), отримаємо відповідь на перше питання задачі:

. (3)

Так як енергія, витрачена на ковку виробу, являється за визначенням задачі корисною, то ККД процесу ковки

. (4)

Підставимо числові значення величини в формули (3) і (4) і виконав обчислення, отримаємо:

, .

Із (4) видно, що ККД процесу ковки тим більша тим більша маса на ковальні по відношенню з масою молота. При .