Образцы решений некоторых типовых задач

Пример 1 Решить систему уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы:

Решение 1) Решим систему методом Крамера. Для этого найдем определитель матрицы системы:

. Т.к. , то решение системы существует и единственно. Найдем определители , и подставляя столбец свободных членов вместо первого, второго и третьего столбцов определителя соответственно:

, , . Отсюда получаем решение системы уравнений:

, , .

2) Решим систему с помощью обратной матрицы. Найдем матрицу , обратную к матрице системы .

Определитель системы , то матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :

; ;

; ;

; ; ; ;

Запишем матрицу . Найдем обратную матрицу . Найдем решение системы уравнений:

.

Итак, , , .

Пример 2 Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение.

Решение Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как , то система совместна и неопределена.

Количество главных переменных равно , количество свободных переменных равно . Выберем какой-нибудь отличный от нуля минор второго порядка полученной матрицы , например, минор . Его столбцы – первый и второй столбцы матрицы – соответствуют переменным и – это будут главные переменные, а и – свободные переменные.

Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару и , т.к. любой соответствующий им минор равен нулю:

, , .

Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Перепишем ее в виде:

или

Обозначим свободные переменные: через , через . Запишем общее решение системы:

; частное решение .

Пример 3 Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами и , исходящими из одной точки.

Решение Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равна модуля векторного произведения векторов и :

.

Векторное произведение найдем по формуле:

Найдем модуль полученного вектора, используя формулу:

Тогда искомая площадь будет: (кв.ед.)

Пример 4 Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах: .

Решение Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен , где , где – смешанное произведение векторов.

Величину найдем по формуле:

=

Тогда (куб.ед.).

Пример 5 Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки и имеет вид:

. В нашем случае получается: ; ; . Это и есть каноническое уравнение прямой в пространстве.

Пример 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки: , и

Решение Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и имеет вид:

Подставив координаты заданных точек в это уравнение, получаем:

,

Пример 7 Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости

Решение Каноническое уравнение прямой имеет вид: . Используя это уравнение получим: . Проекции направляющего вектора прямой найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости. В нашем случае это будет: , тогда будем иметь: .

Пример 8 Дана плоскость и вне ее точка . Найти координаты точки , симметричной точке относительно данной плоскости.

Решение Запишем уравнение любой прямой, проходящей через точку :

. Координаты направляющего вектора прямой, перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормального вектора данной плоскости . Тогда уравнение этой прямой будет иметь вид: .

Найдем проекцию точки на данную плоскость, решив совместно уравнения

и . Представим каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: . Подставляя эти выражения для , и в уравнение плоскости, найдем , откуда , , .

Координаты симметричной точки найдутся из формул координат середины отрезка: , , . Откуда , ,