Задание для самостоятельного решения

1. Укажите точные верхние и нижние грани для множеств:

2. Из данных множеств выберите ограниченные открытые и ограниченные замкнутые:

а) 1  х  5; г)

б) д)

в)

3.4. Предел последовательности в метрическом пространстве.

Рассмотрим последовательность где Х – метрическое пространство.

Элемент х называется пределом последовательности если для любого можно указать такое натуральное число что при всех выполняется условие

Приведенное определение можно выразить следующей формулой:

(3.4.1)

Н етрудно видеть, что любая –окрестность точки содержит бесконечное множество членов последовательности (рис. 3.4.1): все значения при попадают в (попадание в некоторых значений при не запрещается).

Заметим, что элемент х может, вообще говоря, не принадлежать множеству Х. Однако, мы будем считать, что величина все же определена. Иными словами, мы предполагаем возможность расширить множество Х так, чтобы расстояние было определено во всех нужных случаях.

Важным частным случаем (3.4.1) является определение предела числовой последовательности:

(3.4.2)

(число х называется пределом числовой последовательности , если для всякого существует такое натуральное число , что при всех выполняется неравенство ).

Не всякая последовательность имеет предел. Например, последовательность предела не имеет.

Теорема (о единственности предела). Всякая последовательность в метрическом пространстве может иметь не более одного предела.

Для доказательства предположим, что последовательность имеет более одного предела, т.е.

(3.4.3)

Выберем произвольное . Тогда в силу (3.4.3), (3.4.1)

(3.4.4)

Выбрав , из (3.4.4) имеем

Отсюда, применив аксиому треугольника, получаем

Таким образом, при любом малом . Но это возможно лишь при , откуда согласно аксиоме тождественности имеем , что и доказывает теорему.

В качестве примера докажем, что последовательность имеет предел, равный 1. Определим, начиная с какого номера выражение не превосходит

Р е ш е н и е:

.

Если выбрать (целая часть дроби ), то для любого истинно высказывание

т.е.

при имеем

Задание для самостоятельного решения

1. Установите, имеют ли пределы следующие последовательности при :

а) б) в)

2. Докажите, что Определите, начиная с какого номера справедливо неравенство

3. Используя логическую символику, запишите следующие высказывания и их отрицания:

а) число х есть предел последовательности;

б) число х есть предельная точка последовательности.

3.5. Предел отображения.

Пусть Х и Y – метрические пространства, в которых введены метрики и соответственно. Пусть, кроме того, задано отображение

Может оказаться, что сближение точки с точкой

влечет сближение точки y = f (x)Y с некоторой точкой В этом случае говорят, что y = f (x) стремится к при х, стремящемся к .

Здесь необходимо заметить, что в точке отображение может быть не определено, т е. допускается случай, когда . Однако всегда надо считать, что точка является предельной точкой множества Х, т.е. в любой малой окрестности точки имеются точки множества Х , отличные от . Будем считать также, что величина определена во всех нужных нам случаях, т.е. мы допускаем возможность добавлять к множеству Х все его предельные точки, когда речь идет об измерении расстояния. Точно так же в общем случае, когда , мы будем полагать, что множество Y расширено настолько, чтобы расстояние было всегда определено.

Элемент называется пределом отображения y = f (x) в точке , если для любого существует такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Это определение можно выразить формулой (3.5.1)

(в данной и последующих формулировках условие ради краткости опущено).

Геометрическая интерпретация определения (3.5.1) дана на рис. 3.5.1.

Нетрудно видеть, что

Множество называется проколотой –окрестностью точки .

Теорема 1 (о единственности предела). Всякое отображение метрического пространства в метрическое пространство может иметь при не более одного предела.

Доказательство выполняется аналогично тому, как это сделано в разд. 4 для теоремы о единственности предела последовательности.

Теорема 2 (о связи предела последовательности и предела отображения). Если для любой последовательности , сходящейся к точке , где и соответствующая последовательность сходится к одному и тому же элементу , то существует предел отображения y = f (x) при и этот предел равен .

Доказательство теоремы мы не приводим, предлагая “прочувствовать” его с помощью интуитивных рассуждений геометрического характера. Рекомендуется также сформулировать обратную теорему.

Отметим, что из теоремы 2 следует аналогия свойств пределов для отображений и последовательностей.