Аналитическая геометрия

1. Прямоугольная система координат

Расстояние между двумя точками А(x₁, y₁) и В(x₂, y₂) на плоскости:

.

Расстояние между двумя точками А(x₁, y₁, z₁) и В(x₂, y₂, z₂) в пространстве:

.

Координаты (x, y) точки М, делящей в заданном отношении

λ₁ : λ₂ отрезок АВ, где А(x₁, y₁) и В(x₂, y₂) : .

Координаты (x, y) точки М, делящей в заданном отношении

λ₁ : λ₂ отрезок АВ, где А(x₁, y₁, z₁) и В(x₂, y₂, z₂) : .

В частности, при λ₁ = λ ₂ (точка М делит отрезок АВ пополам) :

.

2. Полярная система координат

П олярная система координат задается

точкой О, называемой полюсом, лучом Ор,

называемым полярной осью, и единичным

в ектором ē того же направления, что и луч Ор.

Положение точки М на плоскости определяется

д вумя числами: ее расстоянием r от полюса О и

углом φ, образованном отрезком ОМ с полярной осью

и отсчитываемым в положительном направлении.

Числа r и φ называются полярными координа-

тами точки М: r называют полярным радиусом,

φ – полярным углом (0 ≤ r ≤ +∞, 0 ≤ φ ≤ 2π).

Связь между полярными и прямоугольными координатами:

Определяя величину φ следует (по знакам х и у) определить

четверть, в которой лежит точка М, и учитывать, что –π < φ ≤ π.

Пример 1. Найти прямоугольные координаты точки М с полярными

координатами (2; – )

• Имеем r = 2, φ = – . x = r cos φ = 2 cos (– ) = 2 (– ) = –1,

y = r sin φ = 2 sin (– ) = 2 (– ) = – => M (–1; – ).

Пример 2. Найти полярные координаты точки М с прямоугольными

координатами (– ; –1).

• Имеем x = – , y = –1. r = = 2; tg φ = = . Точка М лежит в III четверти, следовательно, с учетом того, что –π < φ ≤ π, получаем

φ = – π = – => M (2; – ).

2. Прямая на плоскости Различные виды уравнения прямой

Каждая прямая на плоскости Оху определяется линейным

у равнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно, каждое линейное уравнение ервого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

1. У равнение прямой с угловым коэффициентом:

y = kx + b.

З десь: k – угловой коэффициент прямой (тангенс угла α,

который прямая образует с положительным направлением

оси Ох, k = tg α), b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

2. О бщее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0.

Вектор = {A; B} – нормальный вектор прямой

( перпендикулярен прямой).

Частные случая уравнения:

Ах + Ву = 0 (С = 0) – прямая проходит через начало координат;

Ах + С = 0 (В = 0) – прямая параллельна оси Оу;

Ву + С = 0 (А = 0) – прямая параллельна оси Ох;

А х = 0 (В = С = 0) – прямая совпадает с осью Оу;

В у = 0 (А = С = 0) – прямая совпадает с осью Ох.

3. У равнение прямой в отрезках: = 1.

а и b – длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно.