9.6. Расчет вала на жесткость

При работе вала в нем возникают деформации изгиба (прогиб, угол поворота сечения) и кручения (угол закручивания). От прогиба вала в зубчатом зацеплении создается концентрация нагрузки по длине зуба. При больших углах поворота сечения на опорах возможен перекос колец подшипников и их заклинивание. Значительные углы закручивания могу вызывать появления крутильных колебаний. Особенно опасными являются случаи приложения нагрузок на консольных участках входных и выходных валов. Деформации должны быть ограничены допускаемыми значениями. Максимальный прогиб вала не должен превышать

=(0.0002…0.0003) ,

где – расстояние между опорами, а допускаемый прогиб валов под зубчатыми и червячными колесами имеет вид

где m – модуль зацепления.

Величины углов поворота сечения вала на опоре должна удовлетворять условиям

где - соответственно углы поворота сечения вала на опоре в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

[ рад – для шарикоподшипников радиальных однорядных,

[ рад – для шарикоподшипников сферических двухрядных,

[ рад – для роликоподшипников конических,

[ рад – для подшипников скольжения.

Малые значения допускаемых перемещений и углов поворота сечения иногда приводят к тому, что размеры вала определяет не прочность, а жесткость, и полученные ранее размеры валов нуждаются в корректировке.

Прогиб вала является геометрической суммой прогибов вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях

Прогиб и углы поворота находятся методами сопротивления материалов.

Наиболее удобным для машинного счета является метод начальных параметров. Рассмотрим его в приближении к обобщенной расчетной схеме вала (рис.9.12). Эта схема охватывает все возможные случаи нагружения валов приводов.

Рис. 9.12

Вычисление из нее конкретных случаев производится приравниванием к нулю недействующих нагрузок. Если направление сил и моментов в конкретном случае совпадает с направлением сил и моментов на рис.9.12, то они везде представляются со знаком “+” ,а если не совпадает – то со знаком “-“ . Эта схема будет одинаковой и для вертикальной и для горизонтальной плоскостей.

При интегрировании дифференциального уравнения изогнутой оси балки получают постоянные интегрирования С и Д, представляющие собой увеличенные в Е раз соответственно угол поворота и прогиб в начале координат (начало координат помещается в начале вала). Так и , тогда для схемы рис.9.12 уравнения углов поворота и прогибов можно записать [2]:

(9.1)

(9.2)

В уравнения (9.1) и (9.2) подставляют только те нагрузки, которые расположены слева от рассматриваемого сечения.

Для определения начальных параметров упругой линии воспользуемся тем , что на опорах прогиб равен нулю, т.е. при . Подставив эти значения Х в уравнении (9.2) получим два линейных уравнения для нахождения искомых величин, решив которые относительно EJ , получим

Подставив полученное решение (9.3) и (9.4.) в уравнение (9.1) и (9.2) , получим зависимости для расчета углов поворота сечения и прогибов в любой точке по длине вала. Поясним полученное решение на примере тихоходного вала червячно-цилиндрического редуктора

Вертикальная плоскость (рис. 9.2). Для обобщенной схемы

Найдем начальные параметры по уравнениям (9.3) (9.4)

, т.е. прогиб на опоре равен нулю.

E=2,15 - для стали,

где d=75 мм - диаметр вала под подшипником.

Из уравнения (9.1) найдем угол поворота сечения на опоре 2 при

0,5 5316

Или Из уравнения (8.2) при Х=321 мм найдем прогиб вала на первой консоли

На выходном конце вала расположены шлицы с внутренним диаметром 62 мм

Горизонтальная плоскость (рис.9.3.).

Рис. 9.3

Начальные параметры:

Из уравнения (9.1) найдем угол поворота сечения на опоре II;

или

Из уравнения (9.2) при x=321 найдем прогиб вала на консоли

Суммарный прогиб

Допускаемый прогиб под шестерней конической передачи

[

Ранее в расчетах принято т.е.условие жесткости не выполняется.

Необходимо изменить конструкцию вала, т.е. увеличить диаметры ступенчатых участков вала.

Искомые размеры вала можно получить из условия жесткости

или

тогда искомый диаметр вала, принимаемый в дальнейшем за расчетный, определится

По этому диаметру на основании разд.9.2 и рис.9.8 примем

Возможна установка на выходном конце шпонки, т.к. диаметр вала вырос. Уточненный расчет вала на усталостную прочность, расчет на статическую прочность и надежность повторять нет необходимости. Основные расчеты сохраняются и

примем момент инерции сечения на выходе

тогда

что меньше допускаемого значения [У]=0,07 мм.

Жесткость при кручении характеризуется углом закручивания, приходящимся на единицу длины вала

где Т – крутящий момент, передаваемый валом, Н мм;

- полярный момент инерции,

- расчетный диаметр вала в некотором среднем сечении, можно пронять

- модуль упругости при сдвиге для стального вала;

[ закручивания,

на 1 метр длины.

Для выходного вала

,тогда

т.е. условие жесткости при кручении выполняется.