Елементи векторної алгебри

Вектором називається напрямлений відрізок прямої.

Початок вектора називається точкою прикладання вектора.

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором або нуль-вектором, його позначають символом .

Вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними. Якщо вектори а і b колінеарні, то це позначається так: а || b.

Вектори, що лежать в одній площині або в паралельних площинах, називаються компланарними.

Два вектори називаються рівними, якщо вони мають однакові модулі, колінеарні і однаково напрямлені.

Якщо два вектори мають однакові модулі, колінеарні і протилежно напрямлені, то такі вектори називаються протилежними.

Ортом вектора називається вектор, який однаково напрямлений з даним вектором і має модуль, що дорівнює одиниці. Орт вектора а позначається а˚.

Лінійні операції над векторами

До цих операцій відносяться додавання і віднімання векторів та множення вектора на число.

Означення. Сумою двох векторів а і b називається третій вектор с, що з’єднує початок першого вектора а з кінцем другого вектора b за умови, що початок другого вектора збігається з кінцем першого (рис. 2.3).

Сума векторів а і b позначається символом с = а + b.

Зауваження. Додавання трьох і більше векторів a, b, c, d, … здійснюється послідовно: спочатку додають за правилом трикутника перший вектор а з другим вектором b, потім до їх суми а + b додають третій вектор с, потім до суми а + b + с додають четвертий вектор d і т.д.

Означення. Різницею векторів а і b називається такий вектор с, який в сумі з вектором b дає вектор а .

Означення. Добутком вектора а на число α називається вектор b, який задовольняє такі умови:

1) модуль вектора b дорівнює добутку модуля вектора а на абсолютну величину числа α, тобто │b│=│α│∙│а│; (2.3)

2) вектор b колінеарний вектору а;

3) вектор b однаково напрямлений з вектором а, якщо число α додатне, і протилежно напрямлений з вектором а, якщо число α від’ємне.

Операція множення вектора на число підпорядковане таким властивостям:

1. α (а + b) = αа + α b – розподільний закон;

2. (α + β) а = αа + βа – розподільний закон;

3. α(βа) = (αβ)а – сполучний закон;

4. 0 · а = 0; α · 0 = 0.

5. 1· а = а і (–1) · а = –а; вектор –а є протилежний вектору а.

Ці властивості безпосередньо випливають з означення. Зауважимо, що дія ділення вектора на скаляр α визначається як множення вектора а на обернене число .

Теорема (про колінеарні вектори). Для того щоб вектори а і b були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

b = λа, (2.4)

де λ – деяке число.

Доведення. Достатність. Якщо виконується рівність b = λа, то з означення дії множення вектора а на число λ (з другої умови) випливає, що b || а.

Необхідність. Нехай ненульові вектори а і b колінеарні. Це означає, що ці вектори можуть відрізнятися лише довжинами, маючи однакові або протилежні напрямки. Якщо вектори а і b однаково напрямлені, то число λ = і b = а, якщо вектори а і b мають протилежні напрями, то число λ від’ємне і λ = – , тоді b = – а.

Зауваження. Якщо помножити орт вектора на модуль вектора, то дістанемо сам вектор, тобто

а = · а⁰, (2.5)

звідки а⁰ = .

Означення. Лінійною комбінацією векторів a₁, a₂, ..., a_n називається вектор b, що визначається рівністю

b = α₁ a₁+ α₂ a₂+...+ α_n a_n,

Означення. Вектори a₁, a₂, ..., a_n називаються лінійно залежними, якщо знайдуться числа α₁, α₂, ..., α_n, серед яких хоч би одне відмінне від нуля, такі, що виконується рівність

α₁ a₁+ α₂ a₂ +...+ α_n a_n=0, (2.7)

тобто нульова лінійна комбінація можлива за умови, коли не всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

Означення. Вектори a₁, a₂, ..., a_n називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація α₁ a₁ + α₂ a₂ +...+ α_n a_n дорівнює нульовому вектору лише в тому випадку, коли всі її коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто за умови, що виконується рівність α₁² + α₂² +...+ α_n² = 0.

Теорема. Якщо вектори a₁, a₂, ..., a_n лінійно залежні, то хоч би один із них буде лінійною комбінацією решти векторів.

Отже, всякі два колінеарні вектори є лінійно залежними, а всякі два неколінеарні вектори є лінійно незалежними.

Теорема 3. (про розкладання вектора за двома неколінеарними векторами). Якщо вектори е₁ і е₂ неколінеарні, то будь-який компланарний з ними вектор а єдиним способом може бути розкладений за векторами е₁ і е₂.

Доведення. Нехай вектори е₁ і е₂ неколінеарні і нехай задано довільний вектор а, компланарний з ними. Приведемо всі ці три вектори е₁, е₂ і а до спільного початку. Спільну точку прикладання цих векторів позначимо через О, тоді згідно з означенням компланарних векторів, всі ці три вектори будуть розташовані в одній площині. Через кінець вектора а точку А проведемо прямі, паралельні з векторами е₁ і е₂, до перетину з прямими, на яких знаходяться відповідні вектори е₁ і е₂. Точки перетину, які існуватимуть, бо е₁ і е₂ неколінеарні, позначимо відповідно А₁ і А₂.

Ф ігура ОА₁А А₂ – паралелограм. Розглянемо вектори і , які є сторонами паралелограма. Тоді за правилом паралелограма вектор а= дорівнюватиме сумі векторів і , тобто а= + .

Але || е₁, тоді існує цілком певне число α₁ таке, що = α₁е₁ за теоремою про колінеарні вектори. Аналогічно оскільки вектори і е₂ колінеарні, то існує певне число α₂ таке, що = α₂е₂. Тоді попередня рівність запишеться так:

а = α₁е₁ + α₂е₂, (2.8)

тобто вектор а розкладено за векторами е₁ і е₂ і це розкладання єдине, бо точки А₁ і А₂ визначаються однозначно і відповідні числа α₁ і α₂ визначаються однозначно. Теорему доведено.

Якщо три ненульові вектори лінійно залежні, то вони компланарні.

Означення. Кажуть, що упорядкована трійка лінійно незалежних векторів е₁, е₂, е₃ утворює базис у просторі, якщо будь-який вектор а простору можна подати у вигляді деякої лінійної комбінації векторів е₁, е₂ і е₃.

Зауваження. Важливим на практиці є випадок, коли базисні вектори взаємно перпендикулярні і одиничні. Такий базис в просторі називається декартовим. Базисні вектори декартового базису позначаються так: i, j, k. Отже, | i | = | j | = | k | = 1 і i j, i k, j k. Рене Декарт