Определение натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника
Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС один из катетов которого есть проекция отрезка на соответствующую плоскость проекций, а другой катет – разность расстояний концов отрезка до выбранной плоскости проекций. Этот способ называется способом прямоугольного треугольника.
На рис. 2.15 дан пример определения длины отрезка АВ и a - угла наклона отрезка к плоскости 11. Для этого на эпюре (рис. 2.15) из точки B1 под углом 900 проводим отрезок |B1B1* = DZ|, полученный в результате построений отрезок A1B1* будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B1A1B1* =α.
|
|
Рис. 2.15 |
|
Для определения b-угол наклона отрезка к плоскости 2 построения аналогичные (рис. 2.16). Только в треугольнике АВВ* сторона |BВ*=DU| и треугольник совмещается с плоскостью 2. b-угол наклона отрезка к плоскости 2.
|
|
Рис2.16 |
|
Следы прямой
Следами прямой называются точки пересечения данной прямой с плоскостями проекций. Точка пересечения с плоскостью проекций 1 называется горизонтальным следом и обозначается буквой H, точка пересечения с плоскостью 2 называется фронтальным следом и обозначается буквой F, точка пересечения с плоскостью 3 называется профильным следом и обозначается буквой P.
На рис. 2.17, 2.18 изображена прямая a, которая, при продолжении ее в обе стороны, пересечет плоскости проекций 1 и 2 и будет, следовательно, иметь горизонтальный и фронтальный следы.
|
|
Рис. 2.17 |
Рис. 2.18 |
Горизонтальная проекция H горизонтального следа прямой совпадает с самим следом (H H), а его фронтальная проекция H, как всякой точки, принадлежащий плоскости проекций 1, будет лежать на оси проекций x.
Фронтальная проекция F фронтального следа прямой совпадает с самим следом (F F), а его горизонтальная проекция, как всякой точки, принадлежащий плоскости проекций 2, будет лежать на оси проекций x.
На рис. 2.19 изображена прямая b, имеющая горизонтальный и профильный следы.
Профильная проекция P профильного следа прямой совпадает с самим следом (P P), а его горизонтальная проекция P и фронтальная P, как всякой точки, принадлежащей плоскости проекций 3, будут лежать соответственно на осях y и z.
На рис. 2.20 показано построение следов профильной прямой с. Это построение сводится к нахождению профильных проекций горизонтального Н и фронтального F следов и последующему проведению через них соответствующих линий связи для нахождения горизонтального следа (Н Н) и фронтального следа (F F) на продолженных горизонтальной и фронтальной проекциях прямой с.
|
|
Рис. 2.19 |
Рис. 2.20 |
Взаимное положение прямых: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся прямые
Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай.
Параллельные прямые. Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Проекции параллельных прямых на любую плоскость, не перпендикулярную данным прямы, параллельны.
Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, то есть если AB//CD то A1B1//C1D1; A2B2//C2D2; A3B3//C3D3 (рис. 2.21). В общем случае справедливо и обратное утверждение.
Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 2.22). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость 3 пересекаются, следовательно, они не параллельны.
|
|
Рис. 2.21 |
|
|
|
Рис. 2.22 |
|
Пересекающиеся прямые. Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.
Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находятся на одной линии проекционной связи (рис. 2.23).
|
|
Рис. 2.23 |
|
В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:
1. Если одна из прямых параллельна какой–либо из плоскостей проекций, например профильной плоскости проекций (рис. 2.24), по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СD пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, профильные проекции этих отрезков тоже пересекаются, однако точка их пересечения не лежит на одной линии связи с точками пересечения горизонтальной и фронтальной проекций отрезков, следовательно, не пересекаются и сами отрезки.
|
|
Рис. 2.24 |
|
2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проекционной плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 2.25). О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной проекции, например, на горизонтальную плоскость проекций (А1В1∩С1D1ÞАВ∩СD).
|
|
Рис. 2.25 |
|
О проекции плоских углов. Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.
Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов:
1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (рис. 2.26). Это теорема о проецировании прямого угла.
|
|
Рис. 2.26. |
Рис. 2.27 |
2. Если проекция угла представляет угол 900, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 2.27).
3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.
4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.
5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением.
Скрещивающиеся прямые. Скрещивающимися называются две прямые, не лежащие в одной плоскости.
Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.
Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис. 2.28) соответствуют две точки А и В, одна из которых принадлежит прямой а, другая b. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В, лежащая на прямой b, следовательно, прямая b проходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. Для точек С и D решение аналогично.
Этот способ определения видимости называется методом конкурирующих точек. В данном случае точки А и В фронтально конкурирующие, а С и D горизонтально конкурирующие.
|
|
Рис. 2.28 |
|
Контрольные вопросы по теме лекции:
1. Какие прямые называются прямыми общего положения?
2. Какие прямые называются линиями уровня?
3. Какие прямые называются проецирующимися?
4. Охарактеризуйте величину проекции отрезка прямой в зависимости от положения прямой относительно плоскости проекций?
5. Как построить следы прямой?
7. Могут ли проекции скрещивающихся прямых быть параллельными?
8. В каком случае проекции прямого угла на плоскости 1 и 2 равны 90°?
9. Как должны быть расположены проекции точки, принадлежащей заданной прямой?