11 Отражение и преломление света на границе двух диэлектриков.

Граничные условия для векторов поля световой волны на границе между двумя диэлектриками при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости имеют вид: (4.25) – (4.26)

где t, n – индексы тангенциальной (касательной к границе раздела) и нормальной компоненты вектора соответственно.

Пусть на плоскую границу двух диэлектриков с абсолютными (не относительными !) проницаемостями (e₁ ; m₁) и (e₂ ; m₂) (магнитную проницаемость пока оставим в общем виде) падает под некоторым углом плоская световая волна (рис.4.3). Тогда для напряженностей электрического поля в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно имеем:

(4.27)

г де – волновые числа, причем – скорости света в 1-й и 2-й средах.

Законы отражения и преломления света на границе полностью определяются граничными условиями (4.25) и (4.26). Для электрического поля с учетом (4.27) граничные условия принимают вид:

(4.28)

Отметим, что начало отсчета вектора r (точка 0’ ) совершенно произвольно. Если 0’ лежит не на поверхности раздела, то . (4.29)

При этом в (4.28): . Но для любой точки поверхности , поэтому удобно точку 0’ поместить на границе раздела.

Равенство (4.28) будет соблюдаться для произвольных значений r и t только при (4.30)

. (4.31)

Отсюда следует, что . (4.32)

(Частота ЭМВ при отражении и преломлении не меняется.)

Выберем точку 0’ так, чтобы вектор (т.е. направим перпендикулярно плоскости XZ рис.4.3). Тогда , а из (4.31) следует, что и . Отсюда следует, что волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн (условно пока назовем направление k лучом) лежат в одной плоскости. Плоскость, в которой лежат волновой вектор k₀ и нормаль к поверхности раздела n в точке падения луча, называется плоскостью падения. Из рис.4.3 видно, что

(4.33)

Тогда с учетом (4.31) получаем:

(4.34)

или из (4.27) и (4.32): (4.35)

Вспомним, что – показатели преломления. Из (4.35) можно сделать следующие выводы:

1. . (4.36)

2. . (Закон Снеллиуса) (4.37)

Введем обозначение

– относительный показатель преломления. (4.38)

Тогда закон Снеллиуса примет вид:

(4.39)

При (падение из менее оптически плотной в более оптически плотную среду) (рис.4.4). При (рис.4.5).

Вообще говоря, вектор E₀ в падающей волне может иметь произвольный азимут a (угол между E и плоскостью падения. Разложим векторы электромагнитного поля на две составляющие: перпендикулярные плоскости падения (будем обозначать их индексом s (или ^) и параллельные плоскости падения (будем обозначать их индексом p (или || )) (рис.4.6):

ЯВЛЕНИЕБрюстера. Из формулы (4.67) и из графика рис.4.10 видно, что для p–поляризованной волны при некотором угле падения , называемом углом явление Брюстера, отраженная волна отсутствует, т.е. . Это явление называется явлением Брюстера (Brewster David, 1781 – 1868) (1815 г.). Для угла Брюстера справ. следующие соотношения:

(4.69)

При переходе через угол Брюстера фаза колебаний отраженной волны скачком меняется на p.

Заметим, что явлении Брюстера наблюдается тогда, когда направления преломленной и отраженной волны ортогональны. С физической точки зрения это можно объяснить следующим образом. Если связывать наличие отраженной волны с вынужденными колебаниями электронов во второй среде, то в направлении, перпендикулярном преломленной волне, не должна распространяться энергия, т.к. образующийся при этом диполь не излучает в направлении собственных колебаний. При при падающей волне с произвольным азимутом отражается лишь s – поляризованная компонента. Это является одним из способов получения линейно-поляризованного света. Пример. Стопа Столетова. При нормальном падении света ( ) понятия s– и p– поляризаций теряют смысл и формулы (4.54), (4.55), (4.65) и (4.66) дают один и тот же результат (для диэлектрика ): (4.70) – (4.71)

(Знак в (4.70) не учтен).

Энергетические соотношения при преломлении и отражении. Энергетическим коэффициентом отражения называется абсолютное значение отношения нормальных компонент векторов Пойнтинга в отраженной и падающих волнах:

. (4.72)

Энергетический коэффициент пропускания вводится аналогичным образом для преломленной волны:

(4.73)Т.к. ,(4.74)

(4.75)

то для Â имеем: (4.76)

(4.77)

или с учетом (4.54), (4.55), (4.65), (4.66):

; (4.78)

; (4.79)

(4.80)

. (4.81)

При q₀ = 0 для m₁ = m₂

;(4.82) .(4.83)

Прямой проверкой можно показать, что

. (4.84)

Это выражает закон сохранения энергии при отражении и преломлении света на границе раздела двух сред. Графики для изображены на рис.4.11.

. Явление полного внутреннего отражения. При падении света на границу двух диэлектриков, для которых (рис.4.12), из закона Снеллиуса следует, что существует предельный (или критический) угол q_п. падения, при котором угол преломления . Тогда

.(4.85)При угол преломления q₂ имеет обычную геометрическую интерпретацию, и коэффициенты R и T являются вещественными.

Когда угол падения , не существует вещественного угла преломления q₂ , т.к. закон Снеллиуса дает для sinq₂ значение больше единицы, а для cosq₂ – чисто мнимое значение:

(4.86)

Но формулы Френеля останутся справедливыми и в этом случае, если закон преломления рассматривать просто как определение входящих в них величин sinq₂ и cosq₂ в соответствии с (4.86). Справедливость понимаемых таким образом формул Френеля следует из того, что они обеспечивают выполнение граничных условий и в этом случае.

Рассмотрим сначала световую волну во второй среде (преломленную) в общем случае:

(4.87)

В такой записи сомножитель I означает комплексную амплитуду волны II, распространяющейся вдоль оси X со скоростью . Подставим (4.86) в (4.87):

. (4.88)

З нак (+) в первой экспоненте соответствует безграничному возрастанию поля в среде, что лишено физического смысла. Поэтому остается (–), что соответствует быстро убывающей с ростом z амплитуде волны, распространяющейся во второй среде вдоль X. Практически эта неоднородная волна существует лишь в поверхностном слое второй среды толщиной порядка длины волны. Причем фазовая скорость этой неоднородной (и соответственно не плоской) зависит как от свойств среды, так и от угла падения.

Формулы Френеля для отраженной волны ((4.56) и (4.67) с учетом (4.86)) имеют вид:

; (4.89)

. (4.90)

Видно, что энергетические коэффициенты при углах падения больше критического (рис.4.13). Поэтому это явление называется полным внутренним отражением (ПВО). При этом волна и соответствующая доля энергии проникают через границу раздела во вторую среду на некоторую глубину d (глубину проникновения) (амплитуда поля на глубине d падает в е раз): (4.91)

движутся вдоль поверхности раздела и затем возвращаются в первую среду. Места входа энергии во вторую среду и ее возвращения в первую смещены друг относительно друга. Амплитуды p– и s–компонент отраженной волны не изменяются по абсолютному значению, но испытывают различные фазовые сдвиги. Если представить, что

(4.92)

то

(4.93)

.Обозначим (4.94)

Тогда . (4.95)

Примеры:1. Призма–крыша. 2.Световоды. 3.Миражи.

4.Ромб (параллелепипед) Френеля ( ).