Дифференциальная форма закона Фарадея.

Из интегральной формы закона электромагнитной индукции (закона Фарадея)

с помощью теоремы Стокса можно получить дифференциальную форму

.

При изменении во времени индукции магнитного поля в данной точке пространства, в окрестности этой точки появится поле сторонних сил, ротор векторов которого пропорционален скорости изменения вектора магнитной индукции.

Из этой формулы следует, что появляющееся поле является вихревым, т.е. силовые линии этого поля - замкнутые линии.

Если в области, где индукция магнитного поля зависит от времени, находится проводящая среда, то, по закону Ома, возникающее поле сторонних сил должно привести к возникновению электрического тока. Запишем закон Ома в дифференциальной форме . Отсюда следует, что силовые линии поля сторонних сил и линии тока совпадают. Но т.к. поле вихревое:

,

то его силовые линии – замкнутые, поэтому и линии тока:

будут замкнутыми. Т.е. векторное поле плотности тока, возникающее в проводнике при изменении внешнего магнитного поля, тоже вихревое. Такие токи получили название вихревых токов или токов Фуко. Знак минус в этом выражении указывает на правило Ленца – вектор плотности вихревого тока в окрестности данной точки направлен так, чтобы создаваемое им магнитное поле компенсировало изменение индукции внешнего магнитного поля.

Токи Фуко возникают, например, при движении проводников в неоднородном магнитном поле. При этом проводник начинает разогреваться (закон Джоуля-Ленца), на участки проводника с вихревыми токами действуют силы Ампера, тормозящие проводник. (Явление разогрева используют в индукционных печах, явление торможения – в демпферных устройствах, служащих для успокоения колебаний).

В тех устройствах, где появление токов Фуко следует предотвращать, применяют специальные приёмы – например в проводнике делают прорези, направление которых перпендикулярно возможному направлению вихревых токов. Или, вообще, электропроводящие части выполняют из набора тонких пластин (сердечники – магнитопроводы в трансформаторах).

Если по массивному проводнику протекает переменный электрический ток с плотностью , то внутри проводника он создаёт переменное магнитное поле, вектор изменения которого , в свою очередь, приводит к появлению вихревых токов с плотностью , препятствующих изменению магнитного поля. Эти токи направлены так, что внутри проводника они ослабляют основной ток, а у поверхности, наоборот, усиливают. Таким образом, суммарная плотность тока у поверхности проводника усиливается, а внутри уменьшается. Такое явление называют скин-эффектом. Следовательно, при скин-эффекте, если «выкинуть» внутренность проводника, то это не повлияет на его сопротивление переменному току. Поэтому, в устройствах, где протекает ток высокой частоты, проводники выполняют в форме полых трубок, при этом их внешнюю поверхность даже покрывают веществом с большой проводимостью (например, серебром).

С амоиндукция

Ток, протекающий по замкнутому проводнику, создаёт магнитное поле и, соответственно, магнитный поток через площадку, ограниченную проводником. Если форма проводника постоянная, то между силой тока в проводнике и магнитным потоком через площадку, ограниченную проводником, существует прямая зависимость . Коэффициент пропорциональности L при отсутствии ферромагнетиков является постоянной величиной и называется индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции контура. Единица измерения индуктивности – Генри (Гн).

Пример. Найдем индуктивность длинного соленоида, внутри которого нет ферромагнетика (но, возможно, есть диамагнетик или парамагнетик). Будем предполагать, что длина соленоида значительно превосходит его диаметр, поэтому можно считать, что магнитное поле внутри соленоида является однородным. Пусть N – число витков, l – длина соленоида, R - радиус. Если сила тока, протекающего в соленоиде равна I, то величина индукции внутри равна

.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную одним витком , потокосцепление во всем соленоиде . Индуктивность соленоида

.

При изменении силы тока I в контуре будет изменяться и магнитный поток через площадку контура Ф, поэтому в контуре появится индукционный ток I_i, направление которого определяется правилом Ленца. Этот ток будет направлен так, чтобы скомпенсировать изменение магнитного потока, т.е. основного тока I. Это явление называется самоиндукцией. Согласно закону Фарадея , поэтому ЭДС самоиндукции

.

П ример. В замкнутой цепи, содержащей катушку индуктивности (соленоид) с коэффициентом самоиндукции L, резистор сопротивлением R и источник с ЭДС  (внутреннее сопротивление источника r = 0), протекает постоянный ток силой I₀. Найдём, как изменяется сила тока в цепи с течением времени после размыкания ключа К. Когда ключ замкнут, сила тока в цепи постоянная и равна . ЭДС самоиндукции в катушке равна нулю. После размыкания ключа сила тока начнёт меняться, в катушке появиться ЭДС самоиндукции, поэтому по закону Ома . Откуда, и (C=const). С учётом начального условия - в момент размыкания ключа (т.е. при t =0) было - получаем . Т.е. ток в цепи не прекращается сразу, а убывает по экспоненциальному закону: при .

Так как цепь разорвана ключом К, то в месте разрыва начнут накапливаться разноимённые электрические заряды. Это приводит к тому, что напряженность электрического поля в этом месте нарастает и, например, в воздушной среде (практически сразу после разрыва цепи) между контактами ключа проскакивает электрическая искра (электрический пробой воздуха).

Предположим, что пробоя воздуха нет, поэтому вся запасенная в контуре энергия переходит в тепло. По закону Джоуля-Ленца мощность тепловыделения на сопротивлении R

. Тогда полное количество теплоты

.

Таким образом, энергия магнитного поля, создаваемая в катушке индуктивности L электрическим током силой I, определяется зависимостью

.

Пример. Н айдем период электрических колебаний в идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности L и конденсатора емкости С.

Сила тока в контуре равна скорости изменения заряда конденсатора:

.

Напряжение на конденсаторе равно ЭДС самоиндукции на катушке: . В итоге из выражения , получаем уравнение для силы тока в контуре:

.

Это уравнение описывает свободные незатухающие колебания с циклической частотой . Период колебаний (формула Томсона).

В случае свободных незатухающих колебаний полная энергия в контуре сохраняется:

.

(Сопротивление R в контуре отсутствует, поэтому нет тепловых потерь.)