§5.Ряды по целым отрицательным степеням

Рассмотрим ряд:

(2.17)

Полагая , получим степенной ряд :

, (2.18)

сходящийся в круге , где . Ряд (2.18) сходится, если ; , , где

Пример 1.

Найти область сходимости ряда

, , , .

Данный ряд сходится вне круга с центром в точке с радиусом , .

Пример 2.

Найти область сходимости ряда .

Имеем , , поэтому

Следовательно, ряд сходится в области , т.е., вне круга с центром в точке и радиуса

§6 Ряды Лорана

Определение 1.

Ряд вида

, (2.19)

где − фиксированная точка комплексной плоскости, а − заданные комплексные числа, называется рядом Лорана.

Ряд (2.19) содержит как целые положительные, так и целые отрицательные степени .

. (2.20)

Определение 2.

Ряды , называются, соответственно, правильной частью и главной частью ряда Лорана.

Ряд Лорана сходится в точке , если в этой точке сходятся ряды

Сумма ряда Лорана (2.20) равна .

Ряд является степенным рядом, следовательно, его область сходимости есть круг . Ряд является рядом с целыми отрицательными степенями, его область сходимости . При ряд (2.19) сходится в кольце . При правильная и главная части ряда Лорана не имеют общей области сходимости, поэтому ряд (2.19) не сходится. На границе кольца ряд (2.19) может, как сходиться, так и расходиться. Из теоремы Абеля вытекает, что во всяком замкнутом кольце , лежащем в кольце , ряд (2.19) сходится абсолютно и равномерно и его сумма есть аналитическая функция .

Теорема(теорема Лорана). Всякая функция , аналитическая внутри кольца может быть единственным образом разложена в ряд Лорана , причем , где Г-любая расположенная в данном кольце окружность с центром в точке .

Доказательство.

Р ассмотрим кольцо , , − границы кольца, − точка кольца, − окружность с центром в точке , лежащая в кольце. По теореме Коши для составного контура . В силу интегральной формулы Коши , получим, .

а)Если точка − точка на окружности , то

, ,

.

Ряд в правой части этого равенства сходится на правильно, умножив его почленно на и проинтегрировав на , получим для разложение

где

(2.21)

б)Если точка − точка на окружности , то ,

где

. (2.22)

В силу теоремы Коши для составного контура вместо кривых интегрирования можно взять любую окружность с центром в точке , лежащую в кольце .

При замене индекса на − подынтегральное выражение в правой части формулы (2.21) переходит в подынтегральное выражение правой части формулы (2.22), поэтому

где коэффициенты как при так и при определяются формулой

, (2.23)

где кривая − любая окружность с центром в точке , расположенная в кольце .

Замечание 1.

Доказательство единственности не приводится.

Замечание 2.

Пусть аналитична не только в кольце , но и в точке , следовательно, аналитична в круге . Тогда при всех подынтегральная функция в интеграле формулы (2.22) не имеет особых точек внутри . В силу теоремы Коши все и главная часть ряда (2.19) Лорана формулы тождественно равна нулю. Формула (2.21) для коэффициентов правильной части ряда Лорана в силу формулы принимает вид . Следовательно, в этом случае ряд Лорана превращается в ряд Тейлора, поэтому ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана функции , аналитической в «кольце» , следовательно, в круге .

Замечание 3.

Пусть функция аналитична в кольце , содержащем окружность , она разлагается в ряд Лорана . Полагая , получаем разложение в ряд Фурье .

Пример 1.

Разложить функцию в ряд Лорана при в различных областях .

Функция имеет две особые точки . Следовательно, имеются три «кольца» с центром в точке , в каждом из которых функция аналитична, именно, 1) круг ; 2) кольцо ; 3) внешность круга .

В данном примере можно получить разложение в ряд Лорана, не используя формулу для вычисления коэффициентов.

1) Разложение в круге .

Представим функцию в виде суммы элементарных

дробей . Так как , а функция является суммой геометрической прогрессии с модулем знаменателя , то

, (2.24)

(2.25)

Складывая два последних равенства, получаем

, .

С ледовательно, полученное разложение является рядом Тейлора.

2) Разложение в кольце .

Ряд формулы (2.24) остается сходящимся, так как , но ряд формулы (2.25) расходится, потому что , поэтому разложение (2.25) заменяется следующим:

(2.26)

В кольце ряд формулы (2.26) сходится, так как и . Складывая равенства (2.25) и (2.26) ,получим

, (2.27)

следовательно, .

3)Разложение в области .

Р азложите формулы (2.26) сохраняется, так как оно верно при , тем более верно и при . Но ряд формулы (2.24) расходится, разложение формулы (2.24) заменяем следующим

Рис 2.5

(2.28)

Ряд формулы (2.28) сходится, так как . Складывая равенства (2.26) и (2.28),получим:

,следовательно, .

Пример 2.

Разложить в ряд Лорана в различных областях при функцию

Функция аналитична:1) в круге без центра ; 2) в области ;

1. Разложение в круге .

П редставим функцию в виде

.

, (2.29)

Ряд формулы (2.29) сходится, так как . Следовательно, поэтому

.

2) Разложение в области .

(2.30)

Р

Рис. 2.6

яд Лорана (2.30) сходится, так как .

Ряд Лорана данной функции имеет вид