Интегрирование выражений, содержащих

1.

Если

т.е. подынтегральное выражение является нечётным относительно sin x,

t

то подойдёт подстановка

cos x = t.

Тогда (см. рис.): ,

, .

После подстановки в подынтегральное выражение получится просто рациональная функция от t.

2.

Если ,

т.е. подынтегральное выражение является нечётным относительно cos x,

то подойдёт подстановка

sin x = t.

Тогда (см. рис.): ,

, .

После подстановки в подынтегральное выражение получится рациональная функция от t

3.

Если ,

т.е. подынтегральное выражение не изменяется при одновременной замене sin x на -sin x и

cos x на -cos x,

1

t

то подойдёт подстановка

tg x = t .

Тогда (см. рис.):

, ,

, .

После замены получится рациональная функция относительно t.

4.

В о всех трех случаях, а также во всех остальных случаях подойдёт универсальная подстановка

В этом случае получаем:

.

Тогда

, ,

,

,

, .

После подстановки в подынтегральное выражение получаем рациональную

функцию от переменной t

Замечание. Стоит ли во всех случаях применять универсальную подстановку?

Не стоит, т.к. её применение нередко приводит к значительному усложнению вычислений.