Вариант 26
На основании данных:
Опытная группа – 16, 13, 14, 9, 10, 13, 14, 14, 18, 20, 15, 10, 9, 10, 16, 17, 18
Контрольная группа – 24, 6, 9, 10, 23, 20, 11, 12, 19, 18, 13, 14, 12, 14, 7, 9, 14
1) Выполнить расчеты для проверки равенства среднего генеральной совокупности, из которой извлечена контрольная группа, значению 14.
2) Определить какими являются две представленные выборки (зависимыми или независимыми).
3) Провести проверку гипотез относительно равенства средних генеральных совокупностей, из которых извлечены опытная и контрольная группа.
4) Провести проверку гипотез относительно равенства дисперсий генеральных совокупностей, из которых извлечены опытная и контрольная группа.
Вариант 27
На основании данных:
Мужчины: 1,17 1,39 1,60 2,53 2,74 3,18 3,91 4,06 4,47 7,92 (кг).
Женщины: 1,60 1,65 2,07 2,86 3,85 3,92 3,99 4,78 5,22 6,76 (кг).
1) Выполнить расчеты для проверки равенства среднего генеральной совокупности, из которой извлечена группа женщин, значению 3,5.
2) Определить какими являются две представленные выборки (зависимыми или независимыми).
3) Провести проверку гипотез относительно равенства средних генеральных совокупностей, из которых извлечены группа мужчин и группа женщин.
4) Провести проверку гипотез относительно равенства дисперсий генеральных совокупностей, из которых извлечены группа мужчин и группа женщин.
Вариант 28
На основании данных:
№ испытуемого |
Экспериментальная группа |
Контрольная группа |
1 |
29 |
34 |
2 |
31 |
31 |
3 |
31 |
28 |
4 |
25 |
27 |
5 |
25 |
30 |
6 |
19 |
23 |
7 |
22 |
21 |
8 |
20 |
28 |
9 |
14 |
29 |
10 |
16 |
31 |
11 |
27 |
17 |
12 |
24 |
22 |
13 |
32 |
21 |
14 |
27 |
15 |
15 |
14 |
33 |
16 |
24 |
29 |
1) Выполнить расчеты для проверки равенства среднего генеральной совокупности, из которой извлечена контрольная группа, значению 24.
2) Определить какими являются две представленные выборки (зависимыми или независимыми).
3) Провести проверку гипотез относительно равенства средних генеральных совокупностей, из которых извлечены экспериментальная и контрольная группа.
4) Провести проверку гипотез относительно равенства дисперсий генеральных совокупностей, из которых извлечены экспериментальная и контрольная группа. Теоретические сведения
Критерий t-Стьюдента для одной выборки
Метод позволяет проверить гипотезу о том, что среднее μ генеральной совокупности, из которой извлечена выборка, отличается от некоторого известного значения а.
Гипотезы:
Н0: Значение среднего генеральной совокупности не отличается от а;
Н1: Значение среднего генеральной совокупности отличается от а.
Математическая запись гипотез:
Н0: μ=а;
Н1: μ≠а.
Алгоритм проверки гипотезы для одной выборки с помощью критерия t-Стьюдента
1. Вычислить
математическое ожидание (
)
и стандартное отклонение (
)
для выборки.
2. Вычислить по формуле (4.1) эмпирическое значение критерия
(4.1).
где – математическое ожидание выборки;
– стандартное отклонение выборки;
А – значение, с которым сравнивается среднее генеральной совокупности;
n – объем выборки.
3. Определить число степеней свободы df=n-1.
4. Найти в таблице
критических значений критерия t-Стьюдента
(приложение А) для р-уровня
значимости (
или
)
и соответствующего числа степеней
свободы
.
5. Сравнить
и
.
Принять
статистическое решение и сформулировать
вывод.
Критерий t-Стьюдента для независимых выборок
Метод позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые независимые выборки, отличаются друг от друга.
Гипотезы:
Н0: Значения средних двух генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, не отличаются друг от друга;
Н1: Значения средних двух генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, отличаются друг от друга.
Математическая запись гипотез:
Н0:
;
Н1:
.
Алгоритм проверки гипотезы для двух независимых выборок с помощью критерия t-Стьюдента
1. Для
двух выборок
и
вычислить математические ожидания (
и
)
и дисперсии (
и
).
2. Вычислить по формуле (4.2) эмпирическое значение критерия
(4.2).
где и – математические ожидания выборок и ;
и – дисперсии выборок и ;
и
– объемы выборок
и
.
3. Определить
число степеней свободы
.
4. Найти в таблице критических значений критерия t-Стьюдента (приложение А) для р-уровня значимости ( или ) и соответствующего числа степеней свободы .
5. Сравнить и . Принять статистическое решение и сформулировать вывод.
Критерий t-Стьюдента для зависимых выборок
Метод позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые зависимые выборки, отличаются друг от друга.
Гипотезы:
Н0: Значения средних двух генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, не отличаются друг от друга;
Н1: Значения средних двух генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, отличаются друг от друга.
Математическая запись гипотез:
Н0: ;
Н1: .
Алгоритм проверки гипотезы для двух зависимых выборок с помощью критерия t-Стьюдента
1. Для
показателей двух выборок
и
вычислить разность
.
2. Вычислить
среднюю разность
и стандартное отклонение разности
по формулам:
3. Вычислить по формуле (4.3) эмпирическое значение критерия:
(4.3)
где
– средняя разность значений;
– стандартное отклонение разностей;
n – объем выборок.
3. Определить
число степеней свободы
.
4. Найти в таблице критических значений критерия t-Стьюдента (приложение А) для р-уровня значимости ( или ) и соответствующего числа степеней свободы .
5. Сравнить и . Принять статистическое решение и сформулировать вывод.
Критерий F-Фишера
Метод позволяет проверить гипотезу о том, что дисперсии двух генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые выборки, отличаются друг от друга.
Гипотезы:
Н0: Значения дисперсий двух генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, не отличаются друг от друга;
Н1: Значения дисперсий двух генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, отличаются друг от друга.
Математическая запись гипотез:
Н0:
;
Н1:
.
Алгоритм проверки гипотезы для двух выборок с помощью критерия F-Фишера
1. Для показателей двух выборок вычислить дисперсии.
2. Вычислить по формуле (4.4) эмпирическое значение критерия:
(4.4)
где
– большая дисперсия;
– меньшая дисперсия.
3. Определить
число степеней свободы числителя и
знаменателя
,
.
4. Найти в таблице
критических значений критерия F-Фишера
(приложение Б) для р-уровня
значимости (
или
)
и соответствующих значений числа
степеней свободы числителя и знаменателя
.
5. Сравнить
и
.
Принять
статистическое решение и сформулировать
вывод.
Пример 1
У студентов был исследован уровень самооценки. Проверить гипотезу о том, что среднее генеральной совокупности всех студентов не отличается от значения 0,45. Результаты тестирования приведены в таблице.
№ |
Уровень самооценки |
1 |
0,12 |
2 |
0,47 |
3 |
0,38 |
4 |
0,23 |
5 |
0,19 |
6 |
0,63 |
7 |
0,56 |
8 |
0,55 |
9 |
0,58 |
10 |
0,45 |
11 |
0,35 |
12 |
0,73 |
13 |
0,21 |
14 |
0,35 |
Решение:
Исходные данные для задачи: значение числа а=0,45, объем выборки n=14.
Сформулируем гипотезы:
Н0: Значение среднего генеральной совокупности, из которой извлечена выборка, значимо не отличается от 0,45;
Н1: Значение среднего генеральной совокупности, из которой извлечена выборка, значимо отличается от 0,45.
Или математическая запись:
Н0: μ=0,45;
Н1: μ≠0,45.
1. С помощью функций AVERAGE и STDEV получены значения выборочных показателей – математического ожидания и стандартного отклонения: М=0,41 и σ=0,18.
2. По формуле
(4.1) вычислено эмпирическое значение
критерия t-Стьюдента.
Для вычисления использованы математические
функции табличного процессора Calc ABS
(вычисление
модуля)
SQRT
(вычисление корня квадратного).
3. Число степеней свободы df=n-1=14-1=13.
4. По таблицам
критических значений критерия t-Стьюдента
(приложение А) для уровня значимости
–
,
для уровня значимости
–
.
Эти значения также можно вычислить с
помощью статистической функции табличного
процессора Calc TINV:
=TINV(0,05;13)
и =TINV(0,01;13).
5. Сравним
и
для уровней значимости
и
.
Поскольку
и
,
то принимается нулевая гипотеза
.
Это также демонстрирует ось значимости (рис. 1). Поскольку эмпирическое значение критерия t-Стьюдента попало в зону незначимости, то принимается нулевая гипотеза.
Рис. 1
Вывод: значение среднего генеральной совокупности не отличается от 0,45.
Расчеты в табличном процессоре Calc представлены на рис. 2 и рис. 3.
|
|
Рис. 2 |
Рис. 3 |
Пример 2
У студентов первого и четвертого курсов был исследован уровень самооценки. Проверить гипотезу о наличии различий в самооценке студентов 1-го и 4-го курсов. Результаты тестирования приведены в таблице.
№ |
Курс 1 |
Курс 4 |
1 |
0,12 |
0,84 |
2 |
0,47 |
0,63 |
3 |
0,38 |
0,16 |
4 |
0,23 |
0,95 |
5 |
0,19 |
0,98 |
6 |
0,63 |
0,73 |
7 |
0,56 |
0,95 |
8 |
0,55 |
0,96 |
9 |
0,58 |
0,95 |
10 |
0,45 |
0,54 |
11 |
0,35 |
0,28 |
12 |
0,73 |
0,23 |
13 |
0,21 |
0,96 |
14 |
0,35 |
|
Решение:
Сформулируем гипотезы:
Н0: Различия между показателями самооценки студентов 1 курса и 4 курса недостоверны;
Н1: Различия между показателями самооценки студентов 1 курса и 4 курса достоверны.
В данном случае проверка достоверности различий между показателями самооценки студентов 1 и 4 курсов предполагает сравнение средних и дисперсий.
Для проверки достоверности различий между средними проверим гипотезы:
Н0 Значения средних двух генеральных совокупностей студентов 1-го и 4-го курсов, из которых извлечены выборки, не отличаются друг от друга;
Н1: Значения средних двух генеральных совокупностей студентов 1-го и 4-го курсов, из которых извлечены выборки, отличаются друг от друга.
Или математическая запись:
Н0: ;
Н1: .
В данном случае имеют место две независимые выборки, поэтому воспользуемся критерием t-Стьюдента для независимых выборок.
1. С помощью
функций AVERAGE
и VAR
получены значения выборочных показателей
– математического ожидания и дисперсии:
и
,
и
.
2. По формуле
(4.2) вычислено эмпирическое значение
критерия t-Стьюдента.
Для вычисления использованы математические
функции табличного процессора Calc ABS
(вычисление
модуля)
SQRT
(вычисление корня квадратного).
3. Число степеней
свободы
.
4. По таблицам
критических значений критерия t-Стьюдента
(приложение А) для уровня значимости
–
.
Это значение также можно вычислить с
помощью статистической функции табличного
процессора Calc TINV:
=TINV(0,05;25).
5. Сравним
и
для уровня значимости
.
Поскольку
,
то принимается альтернативная гипотеза
.
Вывод: Обнаружены статистически значимые различия между показателями самооценки студентов 1-го и 4-го курсов по средним значениям.
Для проверки достоверности различий между дисперсиями проверим гипотезы:
Н0: Значения дисперсий двух генеральных совокупностей студентов 1-го и 4-го курсов, из которых извлечены выборки, не отличаются друг от друга;
Н1: Значения дисперсий двух генеральных совокупностей студентов 1-го и 4-го курсов, из которых извлечены выборки, отличаются друг от друга.
Или математическая запись:
Н0: ;
Н1: .
1. Воспользуемся уже вычисленными с помощью функции VAR значениями дисперсий: и . Большим среди них является поэтому дисперсия второй выборки будет числителем.
2. По формуле
(4.4) вычислено эмпирическое значение
критерия F-Фишера:
3. Число степеней
свободы
,
.
4. По таблицам
критических значений критерия F-Фишера
(приложение Б) для уровня значимости
найдено
.
Эти значения также можно вычислить с
помощью статистической функции табличного
процессора Calc FINV:
=FINV(0,05;12;13).
5. Сравним
и
для уровня значимости
.
Поскольку
,
то принимается альтернативная гипотеза
.
Вывод: Обнаружены статистически значимые различия между показателями самооценки студентов 1-го и 4-го курсов по дисперсиям.
Расчеты в табличном процессоре Calc представлены на рис. 4 и рис. 5.
Рис. 4
Рис. 5
Пример 3
У студентов первого курса был исследован уровень самооценки, через три года на 4 курсе те же студенты подверглись тестированию. Проверить гипотезу о влиянии обучения в Вузе на уровень самооценки студентов. Результаты тестирования приведены в таблице.
№ |
Курс 1 |
Курс 4 |
1 |
0,12 |
0,24 |
2 |
0,47 |
0,63 |
3 |
0,38 |
0,46 |
4 |
0,23 |
0,35 |
5 |
0,19 |
0,98 |
6 |
0,63 |
0,73 |
7 |
0,56 |
0,95 |
8 |
0,55 |
0,96 |
9 |
0,58 |
0,95 |
10 |
0,45 |
0,54 |
11 |
0,35 |
0,38 |
12 |
0,35 |
0,56 |
13 |
0,21 |
0,96 |
14 |
0,35 |
0,96 |
Решение:
Сформулируем гипотезы:
Н0: Различия между показателями самооценки студентов 1 курса и 4 курса недостоверны;
Н1: Различия между показателями самооценки студентов 1 курса и 4 курса достоверны.
В данном случае проверка достоверности различий между показателями самооценки студентов 1 и 4 курсов предполагает сравнение средних и дисперсий.
Для проверки достоверности различий между средними проверим гипотезы:
Н0 Значения средних двух генеральных совокупностей студентов 1-го и 4-го курсов, из которых извлечены выборки, не отличаются друг от друга;
Н1: Значения средних двух генеральных совокупностей студентов 1-го и 4-го курсов, из которых извлечены выборки, отличаются друг от друга.
Или математическая запись:
Н0: ;
Н1: .
В данном случае имеют место две зависимые выборки, поэтому воспользуемся критерием t-Стьюдента для зависимых выборок.
1. Вычислена
разность между показателями самооценки
студентов
.
С помощью функций
AVERAGE
и VAR
получены значения выборочных показателей
– математического ожидания и дисперсии:
и
.
2. По формуле
(4.3) вычислено эмпирическое значение
критерия t-Стьюдента.
Для вычисления использованы математические
функции табличного процессора Calc ABS
(вычисление
модуля)
SQRT
(вычисление корня квадратного).
3. Число степеней
свободы
.
4. По таблицам
критических значений критерия t-Стьюдента
(приложение А) для уровня значимости
–
.
Это значение также можно вычислить с
помощью статистической функции табличного
процессора Calc TINV:
=TINV(0,05;13).
5. Сравним
и
для уровня значимости
.
Поскольку
,
то принимается альтернативная гипотеза
.
Вывод: Обнаружены статистически значимые различия между показателями самооценки студентов 1-го и 4-го курсов по средним значениям.
Для проверки достоверности различий между дисперсиями проверим гипотезы:
Н0: Значения дисперсий двух генеральных совокупностей студентов 1-го и 4-го курсов, из которых извлечены выборки, не отличаются друг от друга;
Н1: Значения дисперсий двух генеральных совокупностей студентов 1-го и 4-го курсов, из которых извлечены выборки, отличаются друг от друга.
Или математическая запись:
Н0: ;
Н1: .
1. Вычислим с
помощью функции VAR
значения дисперсий:
и
.
Большей среди них является
поэтому дисперсия второй выборки будет
числителем.
2. По формуле
(4.4) вычислено эмпирическое значение
критерия F-Фишера:
3. Число степеней
свободы
,
.
4. По таблицам
критических значений критерия F-Фишера
(приложение Б) для уровня значимости
найдено
,.
Эти значения также можно вычислить с
помощью статистической функции табличного
процессора Calc FINV:
=FINV(0,05;13;13).
5. Сравним
и
для уровня значимости
.
Поскольку
,
то принимается альтернативная гипотеза
.
Вывод: Обнаружены статистически значимые различия между показателями самооценки студентов 1-го и 4-го курсов по дисперсиям.
Расчеты в табличном процессоре Calc представлены на рис. 6 и рис. 7.
Рис. 6
Рис. 7
Приложение А