Прецессия гироскопа

Допустим, что сила или пара сил , (рис. 3) действует на гироскоп во все время его движения, оставаясь в плоскости (к примеру, это могла бы быть сила тяжести). Выше мы отметили, что ось в сторону действия силы не отклоняется, поэтому угол остаётся всё время постоянным, а скорость  перпендикулярной плоскости . Следовательно, ось гироскопа будет вращаться (прецессировать) вокруг оси с некоторой угловой скорость , называемой угловой скоростью прецессии.

Так как ось вращается вокруг оси с угловой скоростью (рис. 3), то верна формула Эйлера (вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки):

,

и из равенства (1) получается:

. (2)

Уравнение (2) является исходным приближенным уравнением элементарной (прецессионной) теории гироскопа (в элементарной теории гироскопа нутация не учитывается).

Из уравнения (2) следует ( ):

(3)

Чем больше , тем меньше и тем большую точность даёт элементарная теория гироскопа.

Гироскопический эффект

Пусть гироскоп имеет только две степени свободы (рис. 4): поворот вокруг оси и вместе с кольцом 2  вокруг оси (двухстепенной гироскоп). В этом случае, если толкнуть кольцо 2, то оно начнет свободно вращаться вокруг оси , в то время как трехстепенной гироскоп на такие толчки практически не реагирует. Не реагирует трехстепенной гироскоп и на вращение основания, сохраняя неизменным направление своей оси .

Рис. 4

Пусть основание 1 вращается вокруг оси (или любой параллельной ей оси) с угловой скоростью (  ). Вращаясь вместе с основанием гироскоп совершает вынужденную прецессию вокруг оси . Согласно уравнению (2) для создания движения со скоростью на ротор 3 должен действовать момент , который, очевидно, могут создать только силы , давления подшипников , на ось ротора. Так как центр масс ротора 3 неподвижен, то по теореме о движении центра масс ( , где  равнодействующая всех внешних сил, действующих на данную систему) должно быть , и, следовательно, силы , образуют пару.

Но когда подшипники действуют на ось ротора с силами , , то по третьему закону динамики (две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны) ось будет одновременно действовать на подшипники , с такими же по модулю и противоположными по направлению силами , .

Пара сил , называется гироскопической парой, а её момент  моментом гироскопической пары или гироскопическим моментом (моментом гироскопической реакции).

Поскольку момент противоположен ( ), то:

и . (4)

Правило Н.Е. Жуковского: если быстро вращающемуся гироскопу сообщить вынужденное прецессионное движение, то на подшипники, в которых закреплена ось ротора гироскопа, начнет действовать гироскопическая пара с моментом , стремящаяся кратчайшим путем установить ось ротора параллельно оси прецессии так, чтобы направления векторов и совпали.

Под действием гироскопической пары кольцо 2 начнет вращаться с ротором вокруг оси ; при этом угол , а с ним и момент будут убывать, и когда станет , вращение кольца 2 прекратится.

Уравновешенный гироскоп можно реализовать, например, поместив гироскоп в карданов подвес (о чем упоминалось выше).

Карданов подвес  универсальная шарнирная опора, позволяющая закреплённому в ней объекту вращаться одновременно в нескольких плоскостях. Основная идея карданова подвеса: несколько колец, расположенных одно внутри другого, соединяются в двух противоположных точках, что дает им возможность вращаться относительно друг друга. Если в центре колец поместить груз, то он будет сохранять вертикальное положение. Какие бы движения ни совершали кольца, груз останется неподвижной, поскольку кольца гасят колебания.

Т.е., если в кардановом подвесе закрепить вращающееся тело, то оно будет сохранять направление оси вращения независимо от ориентации самого подвеса. Карданов подвес обеспечивает вращающемуся телу свободный поворот в пространстве вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке, называемой точкой подвеса. Эта точка при любых указанных поворотах остается неподвижной (рис. 5).

Рис. 5

Будем обозначать в дальнейшем вектор главного кинетического момента гироскопа через (ранее обозначался  ). Внешний момент будем обозначать (ранее обозначался  ).

Сформулируем основные правила для проявления гироскопических эффектов.